Question

已知：如圖△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作FE⊥BC（垂足為E）交AB于點(diǎn)F，且EF=AF，以點(diǎn)E為圓心，EC長(zhǎng)為半徑作⊙E,交BC于點(diǎn)D．

（1）求證：直線AB是⊙E的切線；

（2）設(shè)直線AB和⊙E的公共點(diǎn)為G，AC=8，EF=5，連接EG，求⊙E的半徑r．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明詳見(jiàn)解析；（2）4.

【解析】

試題分析：（1）本題考查切線的判定，要證某一條直線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上的某點(diǎn)，連接圓心和該點(diǎn)，證垂直即可.如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，連接EA，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EG=EC即可證得斜邊AB是⊙E的切線；

（2）由（1）可知，直線AB與⊙O的公共點(diǎn)G為切點(diǎn)，由切線長(zhǎng)定理可得：AG=AC=8．由EF=AF，EF=5，可得：FG=3，在Rt△FEG中由勾股定理易求GE的長(zhǎng)度，即⊙E的半徑r．

試題解析：

解：（1）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，連接EA；

∵AF=EF，∠FEA+∠AEC=90°，∠AEC+∠EAC=90°，

∴∠FEA=∠FAE．

∴∠FAE=∠EAC．

∴AE為角平分線．

∴EG=EC．

∴直線AB是⊙E的切線．

（2）由（1）可知，直線AB與⊙O的公共點(diǎn)G為切點(diǎn)，

∴EG=r，EG⊥AB．

∵∠ACB=90°，EC長(zhǎng)為半徑，

∴AC是⊙E的切線．

∴AG=AC=8．

∵EF=AF，EF=5，

∴AF=5．

∴FG=AG-AF=8-5=3，

在Rt△EFG中，根據(jù)勾股定理，得：

,

∴⊙E的半徑r=4．

考點(diǎn)：1、切線的判定；2、切線長(zhǎng)定理；3、勾股定理.