Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y交于點(diǎn)C，∠BAC的平分線與y軸交于點(diǎn)D，與拋物線相交于點(diǎn)Q，P是線段AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，分別交AD，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BE，BF．

（1）如圖1，求線段AC所在直線的解析式；

（2）如圖1，求△BEF面積的最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，以EF為邊，在它的右側(cè)作正方形EFGH，點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)正方形EFGH也隨之運(yùn)動(dòng)和變化，當(dāng)正方形EFGH的頂點(diǎn)G或頂點(diǎn)H在線段BC上時(shí)，求正方形EFGH的邊長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)x=﹣1時(shí)，S△BEF的最大值=．P（﹣1，0）；（3）頂點(diǎn)G在線段BC上時(shí)，，正方形的邊長(zhǎng)為；頂點(diǎn)H在線段BC上時(shí)，，正方形的邊長(zhǎng)為．

【解析】

試題分析：（1）由拋物線解析式求得點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法來求直線AC的直線方程即可；

（2）如答圖2，在直角三角形AOC中利用勾股定理求得AC的長(zhǎng)度；過點(diǎn)D作DI⊥AC于點(diǎn)I，構(gòu)建全等三角形△ADI≌△ADO（SSA）和Rt△CDI，利用全等三角形的性質(zhì)可以設(shè)DI=DO=m，則DC=OC﹣OD=4﹣m．所以根據(jù)勾股定理列出關(guān)于m的方程，借助于方程解題即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；然后利用待定系數(shù)法求得直線AD方程，由直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積公式和二次函數(shù)最值的求法來求△BEF面積的最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）需要分類討論：①當(dāng)頂點(diǎn)G在線段BC上時(shí)，如答圖3．設(shè)P（t，0），則由一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和正方形的性質(zhì)推知，，．所以由正方形的鄰邊相等得到：，易得EF、FG的長(zhǎng)度，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)和正方形的邊長(zhǎng)；

同理，②當(dāng)頂點(diǎn)H在線段BC上時(shí)，，正方形的邊長(zhǎng)為．

解：（1）如答圖1，拋物線的解析式為：．

令x=0，則y=﹣4，

∴C（0，﹣4）．

令y=0，則，

解得，x1=﹣3，x2=1．

∴A（﹣3，0），B（1，0）．

設(shè)直線AC所在直線解析式為：y=kx+b（k≠0），

將A（﹣3，0），C（0，﹣4）代入可得，，

解得，

直線AC所在直線解析式為：；

（2）過點(diǎn)D作DI⊥AC于點(diǎn)I，如答圖2．

∵A（﹣3，0），C（0，﹣4），

∴OA=3．

∴OC=4．

在Rt△AOC中，．

∵在△ADI與△ADO中，，

∴△ADI≌△ADO（SSA），

∴AI=AO=3，DI=DO．

設(shè)DI=DO=m，則DC=OC﹣OD=4﹣m．

∵IC=AC﹣AI，

∴IC=5﹣3=2．

在Rt△CDI中，∵ID2+IC2=DC2，

∴m2+22=（4﹣m）2，

解得，．

∴．

∴．

設(shè)直線AD所在直線解析式為：y=kx+b（k≠0），

將A（﹣3，0），代入可得，，

解得，

直線AD所在直線解析式為：．

又∵直線AC的解析式為：．

∴設(shè)P（n，0），則，，

∴BP=1﹣n，，

∴=．

∴該函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x=﹣1．

∴當(dāng)x=﹣1時(shí)，S△BEF的最大值=．

此時(shí)，P（﹣1，0）；

（3）由B（1，0），C（0，﹣4）可得直線BC的解析式為：y=4x﹣4．

①當(dāng)頂點(diǎn)G在線段BC上時(shí)，如答圖3．

設(shè)P（t，0），則，，．

∴，．

∵EF=FG，

∴，

解得，．

∴．

∴頂點(diǎn)G在線段BC上時(shí)，，正方形的邊長(zhǎng)為；

②當(dāng)頂點(diǎn)H在線段BC上時(shí)，如答圖4．

設(shè)P（t，0），則，，．

∴，．

∵EF=EH，

∴，

解得，．

∴．

∴頂點(diǎn)H在線段BC上時(shí)，，正方形的邊長(zhǎng)為．

綜上所述，頂點(diǎn)G在線段BC上時(shí)，，正方形的邊長(zhǎng)為；頂點(diǎn)H在線段BC上時(shí)，，正方形的邊長(zhǎng)為．