Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC、AC于D、E兩點，過點D作DF⊥AC，垂足為F．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若AE=DE，DF=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，根等腰三角形的性質得∠C=∠B，∠B=∠1，則∠C=∠1，根據平行線的判定方法得OD∥AC，則∠2=∠FDO，而DF⊥AC，則∠2=90°，于是∠FDO=90°，然后根據切線的判定定理即可得到結論；
（2）根據直徑所對的圓周角為直角得到∠ADB=90°，利用等腰三角形的性質得∠3=∠4，根據圓周角定理得到弧ED=弧DB，而弧AE=弧DE，于是弧DE=弧DB=弧AE，∠B=2∠4，即可得到∠B=60°，則△OBD為等邊三角形，且有∠C=60°，在Rt△CFD中利用含30度的直角三角形三邊的關系得到CF=DF=，CD=2CF=，則OB=DB=CD=．
解答：（1）證明：連接OD，如圖，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∵OD=OB，
∴∠B=∠1，
∴∠C=∠1，
∴OD∥AC．
∴∠2=∠FDO，
∵DF⊥AC，
∴∠2=90°，
∴∠FDO=90°，
∵OD為半徑，
∴FD是⊙O的切線；
（2）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AC=AB，
∴∠3=∠4．
∴弧ED=弧DB
而弧AE=弧DE，
∴弧DE=弧DB=弧AE，
∴∠B=2∠4，
∴∠B=60°，
∴∠C=60°，△OBD為等邊三角形，
在Rt△CFD中，DF=2，∠CDF=30°，
∴CF=DF=，
∴CD=2CF=，
∴DB=，
∴OB=DB=，
即⊙O的半徑為．
點評：本題考查了圓的綜合題：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線；在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；等腰三角形的性質和含30度的直角三角形三邊的關系在幾何證明和計算中經常用到．