如圖1,在平面直角坐標系中,拋物線y=-
5
6
x2+
13
6
x+c與y軸交于點D,與x軸負半軸交于點B(-1,0),直線y=
1
2
x+b與拋物線交于A、B兩點.作△ABD的外接圓⊙M交x軸正半軸于點C,連結(jié)CD交AB于點E.
(1)求b、c的值;
(2)求:①點A的坐標;②∠AEC的正切值;
(3)將△BOD繞平面內(nèi)一點旋轉(zhuǎn)90°,使得該三角形的對應(yīng)頂點中的兩個點落在已知拋物線上(如圖2),請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標.
(1)∵一次函數(shù)y=
1
2
x+b的圖象經(jīng)過點B(-1,0),
∴0=
1
2
×(-1)+b,
解得b=
1
2
;
∵拋物線y=-
5
6
x2+
13
6
x+c經(jīng)過點B(-1,0),
∴0=-
5
6
×(-1)2+
13
6
×(-1)+c,
解得c=3;

(2)①
1
2
x+
1
2
=-
5
6
x2+
13
6
x+3,
化簡得x2-2x-3=0,
解得:x1=-1,x2=3.
當x=3時,y=2,
∴A(3,2);
②如圖1,過點A作AH⊥y軸于H.
∵A(3,2),B(-1,0),D(0,3),
∴在△ABD中,AB2=(-1-3)2+(0-2)2=20,AD2=(0-3)2+(3-2)2=10,DB2=(-1-0)2+(0-3)2=10,
∴AB2=AD2+DB2,AD=DB,
∴△ABD是等腰直角三角形,∠ADB=90°,
∵△ABD的外接圓⊙M交x軸正半軸于點C,
∴AB為⊙M的直徑,∠ACB=90°,∠ACD=∠BCD=45°,
又∵∠BDC=∠BAC,
∴△DBC△AEC,
∴∠DBC=∠AEC,
∴tan∠AEC=tan∠DBC=
OD
OB
=
3
1
=3;

(3)分為3種情況,①旋轉(zhuǎn)后OD在拋物線上;②旋轉(zhuǎn)后OB在拋物線上;③旋轉(zhuǎn)后BD在拋物線上.
1、旋轉(zhuǎn)后OD在拋物線上:
設(shè)為O′D′,則O′D′平行于x軸,拋物線y=-
5
6
x2+
13
6
x+3=-
5
6
(x-
13
10
2+
529
120
,對稱軸x=
13
10

則x1=
13
10
-
1
2
|OD|=
13
10
-
3
2
=-
1
5
,x2=
13
10
+
3
2
=
14
5
,
則兩點為(-
1
5
,
38
15
)、(
14
5
38
15
).
這時分別:①O′(-
1
5
,
38
15
)、D′(
14
5
,
38
15
);②O′(
14
5
,
38
15
)、D′(-
1
5
,
38
15
),此時O′D′=3.
設(shè)旋轉(zhuǎn)中心P點的坐標為(x,y).
①如果O′(-
1
5
,
38
15
)、D′(
14
5
,
38
15
),由題意,得
x+y=
38
15
y-x=
1
5
,解得
x=
7
6
y=
41
30

此時旋轉(zhuǎn)中心P1為(
7
6
,
41
30
);
②如果O′(
14
5
,
38
15
)、D′(-
1
5
,
38
15
),由題意,得
y-x=
38
15
x+
1
5
=3-
38
15
-x
,解得
x=
2
15
y=
8
3
,
此時旋轉(zhuǎn)中心P2為(
2
15
,
8
3
);
2、旋轉(zhuǎn)后OB在拋物線上:
由于OB⊥y軸,則O′B′⊥x軸,此時顯然不成立;
3、旋轉(zhuǎn)后BD在拋物線上:
BD邊旋轉(zhuǎn)90°后所得線段B′D′與BD垂直,直線斜率kBD=3,則kB′D′=-
1
3

設(shè)旋轉(zhuǎn)后B′D′所在直線方程為:y=-
1
3
x+m,
與拋物線:y=-
5
6
x2+
13
6
x+3聯(lián)立,解方程組,得:
x=
15+
585-120m
10
y=
-15-
585-120m
+30m
30
x=
15-
585-120m
10
y=
-15+
585-120m
+30m
30
,此為兩個交點的坐標.
∵B′D′=BD=
10

∴(
15-
585-120m
10
-
15+
585-120m
10
2+(
-15+
585-120m
+30m
30
-
-15-
585-120m
+30m
30
2=10,
整理,得585-120m=225,
解得m=3,
∴兩點坐標:(3,2),(0,3).
①如果B′(3,2),D′(0,3),則D′與D重合,所以此時旋轉(zhuǎn)中心為P3(0,3);
②如果D′(3,2),B′(0,3),則此時旋轉(zhuǎn)中心為P4(1,1).
綜上可知,旋轉(zhuǎn)中心為(0,3)、(1,1)、(
7
6
,
41
30
)、(
2
15
,
8
3
).
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知:拋物線y=ax2+bx+4的對稱軸為x=-1,且與x軸相交于點A、B,與y軸相交于點C,其中點A的坐標為(-3,0),
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若該拋物線的頂點為D,求△ACD的面積;
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使得以A、B、C、P為頂點的四邊形是梯形?若存在,求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

在平面直角坐標系內(nèi)有兩點A(-2,0),B(
1
2
,0),CB所在直線為y=2x+b,
(1)求b與C的坐標;
(2)連接AC,求證:△AOC△COB;
(3)求過A,B,C三點且對稱軸平行于y軸的拋物線解析式;
(4)在拋物線上是否存在一點P(不與C重合),使得S△ABP=S△ABC?若存在,請求出P點坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖1、2,已知拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點B(-1,0)、C(3,0),交y軸于點A.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)如圖1,若M(0,1),過點A的直線與x軸交于點D(4,0).直角梯形EFGH的上底EF與線段CD重合,∠FEH=90°,EFHG,EF=EH=1.直角梯形EFGH從點D開始,沿射線DA方向勻速運動,運動的速度為1個長度單位/秒,在運動過程中腰FG與直線AD始終重合,設(shè)運動時間為t秒.當t為何值時,以M、O、H、E為頂點的四邊形是特殊的平行四邊形;
(3)如圖2,拋物線頂點為K,KI⊥x軸于I點,一塊三角板直角頂點P在線段KI上滑動,且一直角邊過A點,另一直角邊與x軸交于Q(m,0),請求出實數(shù)m的變化范圍,并說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點,直線l與拋物線交于A、C兩點,其中C點的橫坐標為2.
(1)求拋物線的解析式及直線AC的解析式;
(2)P是線段AC上的一個動點,過P點作x軸的垂線交拋物線于E點,求線段PE長度的最大值;
(3)點G是拋物線上的動點,在x軸上是否存在點F,使A、C、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出所有滿足條件的F點坐標;如果不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在直角坐標系內(nèi),O為坐標原點,點A的坐標為(1,0),點B在x軸上且在點A的右端,OA=AB,分別過點A、B作x軸的垂線,與二次函數(shù)y=x2的圖象交于C、D兩點,分別過點C、D作y軸的垂線,交y軸于點E、F,直線CD交y軸于點H.
(1)驗證:S矩形OACE:S梯形ECDF=2:9;
(2)如果點A的坐標改為(t,0)(t>0),其他條件不變,(1)的結(jié)論是否成立?請說明理由.
(3)如果點A的坐標改為(t,0)(t>0),二次函數(shù)改為y=ax2(a>0),其他條件不變,記點C、D的橫坐標分別為xC、xD,點H的橫坐標為yH,試證明:xCxD=-
1
a
yH

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A(1,0),B(-3,0)兩點.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)設(shè)(1)中的拋物線交y軸與C點,在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使得△QAC的周長最?若存在,求出Q點的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)在(1)中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P,使△PBC的面積最大?若存在,求出點P的坐標及△PBC的面積最大值;若沒有,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知直角梯形紙片OABC在平面直角坐標系中的位置如圖①所示,四個頂點的坐標分別為O(0,0),A(10,0),B(8,2
3
),C(0,2
3
),點P在線段OA上(不與O、A重合),將紙片折疊,使點A落在射線AB上(記為點A’),折痕PQ與射線AB交于點Q,設(shè)OP=x,折疊后紙片重疊部分的面積為y.(圖②供探索用)
(1)求∠OAB的度數(shù);
(2)求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出對應(yīng)的x的取值范圍;
(3)y存在最大值嗎?若存在,求出這個最大值,并求此時x的值;若不存在,說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,排球運動員站在點O處練習發(fā)球,將球從O點正上方2m的A處發(fā)出,把球看成點,其運行的高度y(m)與運行的水平距離x(m)滿足關(guān)系式y(tǒng)=a(x-6)2+2.6.已知球網(wǎng)與O點的水平距離為9m,高度為2.43m.
(1)求y與x的關(guān)系式;(不要求寫出自變量x的取值范圍)
(2)球能否越過球網(wǎng)?球會不會出界?請說明理由.

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同步練習冊答案