Question

（2009•十堰）如圖①，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)G是BC上任意一點(diǎn)，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF⊥AG于點(diǎn)F．
（1）求證：DE-BF=EF；
（2）當(dāng)點(diǎn)G為BC邊中點(diǎn)時(shí)，試探究線段EF與GF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)G為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其余條件不變．請(qǐng)你在圖②中畫(huà)出圖形，寫(xiě)出此時(shí)DE、BF、EF之間的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題的關(guān)鍵是求三角形ADE和ABF全等，以此來(lái)得出DE=AF=AE+EF=BE+EF，這兩個(gè)三角形中已知的條件有AD=BA，一組直角，關(guān)鍵是再找出一組對(duì)應(yīng)角相等，可通過(guò)證明∠DAF和∠ABF來(lái)實(shí)現(xiàn)．（通過(guò)平行和等角的余角相等來(lái)證得）
（2）可通過(guò)證明三角形ABG、ABF、BFG相似來(lái)得出AB，BG；AF，BF；BF，BG之間的比例關(guān)系，根據(jù)AB=2BG，來(lái)得出AF，BF，BF，F(xiàn)G之間的比例關(guān)系，然后根據(jù)（1）中得出的結(jié)果來(lái)求BF，F(xiàn)G的大小關(guān)系．
（3）方法同（1）還是正三角形ADE和ABF全等，得出DE=AF，BF=AE，只不過(guò)本題的結(jié)論是DE+BF=EF．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，
∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
∴△ABF≌△DAE，
∴BF=AE，AF=DE，
∴DE-BF=AF-AE=EF．

（2）解：EF=2FG，
理由如下：
∵AB⊥BC，BF⊥AG，AB=2BG，
∵∠BAG=∠GBF，
∴△ABG∽△BFG，
同理可得，△AFB∽△BFG∽△ABG，
∴===2，
∴AF=2BF，BF=2FG，
由（1）知，AE=BF，
∴EF=AF-AE=AF-BF=BF=2FG．

（3）解：如圖，DE+BF=EF．
點(diǎn)評(píng)：本題中通過(guò)全等三角形得出簡(jiǎn)單的線段相等以及利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵所在．