【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=4.點D是線段BC上的一個動點.點D與點B、C不重合,過點D作DE⊥BC交AB于點E,將△ABC沿著直線DE翻折,使點B落在直線BC上的F點.
(1)設(shè)∠BAC=α(如圖①),求∠AEF的大;(用含α的代數(shù)式表示)
(2)當(dāng)點F與點C重合時(如圖②),求線段DE的長度;
(3)設(shè)BD=x,△EDF與△ABC重疊部分的面積為S,試求出S與x之間函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.
【答案】(1)1800-2α.(2)1;(3)S=
【解析】
試題分析:(1)首先在Rt△ABC中,判斷出∠ABC=90°-∠BAC=90°-α;然后根據(jù)翻折的性質(zhì),可得∠EFB=∠EBF;最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì),可得∠AEF=∠EFB+∠EBF,據(jù)此解答即可.
(2)當(dāng)點F與點C重合時,BD=CD時,判斷出AC∥ED,即可判斷出AE=BE;然后根據(jù)三角形中位線定理,求出線段DE的長度是多少即可.
(3)根據(jù)題意,分兩種情況:①當(dāng)點F在AC的右側(cè)時,即0<x≤2時;②當(dāng)點F在AC的左側(cè)時,即2<x<4時;然后分類討論,求出S與x之間函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍即可.
試題解析:(1)如圖①,
,
在Rt△ABC中,
∠ABC=90°-∠BAC=90°-α,
∵將△ABC沿著直線DE翻折,使點B落在直線BC上的F點,
∴∠EFB=∠EBF,
∴∠AEF=∠EFB+∠EBF=2∠EBF=2(900-∠BAC)=1800-2α.
(2)如圖②,
,
當(dāng)點F與點C重合時,BD=CD時,
∵ED⊥BC,AC⊥BC,
∴AC∥ED,
∴AE=BE,
∴DE=AC=×2=1.
(3)當(dāng)點F與點C重合時,
BD=CD=BC=×4=2.
①如圖③,
,
當(dāng)點F在AC的右側(cè)時,即0<x≤2時,重疊部分是△EDF.
∵AC∥ED,
∴△ABC∽△EDB,
∴,
即,
∴ED=,
∴S△EDF=×ED×DF=××x=x2,(0<x≤2).
②如圖④,
,
當(dāng)點F在AC的左側(cè)時,即2<x<4時,
設(shè)EF與AC相交于點M,
則重疊部分是四邊形EDCM.
∴FC=FD-CD=x-(4-x)=2x-4
∵∠ACB=∠MCF=90°,∠EFB=∠EBF,
∴△ABC∽△MFC,
∴,
即,
∴MC=x-2,
∴S四邊形EDCF=S△EDF-S△EDF
=×x×-×(x-2)×(2x-4)
=-x2+4x-4,(2<x<4).
綜上,可得
S=
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】按下面的程序計算:當(dāng)輸入x=100 時,輸出結(jié)果是299;當(dāng)輸入x=50時,輸出結(jié)果是446;如果輸入 x 的值是正整數(shù),輸出結(jié)果是257,那么滿足條件的x的值最多有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】生活中處處有數(shù)學(xué),下列原理運用錯誤的是 .
A.建筑工人砌墻時拉的參照線是運用“兩點之間線段最短”的原理
B.修理損壞的椅子腿時斜釘?shù)哪緱l是運用“三角形穩(wěn)定性”的原理
C.測量跳遠的成績是運用“垂線段最短”的原理
D.將車輪設(shè)計為圓形是運用了“圓的旋轉(zhuǎn)對稱性”原理
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=-x+3與x軸、y軸相交于A、B兩點,點C在線段OA上,將線段CB繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CD,此時點D恰好落在直線AB上,過點D作DE⊥x軸于點E.
(1)求證:△BOC≌△CED;
(2)如圖2,將△BCD沿x軸正方向平移得△B'C'D',當(dāng)B'C'經(jīng)過點D時,求△BCD平移的距離及點D的坐標(biāo);
(3)若點P在y軸上,點Q在直線AB上,是否存在以C、D、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出所有滿足條件的P點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】將圖①中的正方形剪開得到圖②,圖②中共有4個正方形;將圖②中一個正方形剪開得到圖③,圖③中共有7個正方形;將圖③中一個正方形剪開得到圖④,圖④中共有10個正方形……如此下去,則第2018個圖中共有正方形的個數(shù)為( )
…
A.2018個B.6049個C.6052個D.6055個
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【題目】計算:
(1)9﹣(﹣5)﹣(+2)+(﹣4)﹣5
(2)﹣|﹣7|+(+3)﹣5
(3)﹣|﹣1|﹣(+2)﹣(﹣2.75)
(4)﹣9÷3+(﹣)×12+(﹣3)2
(5)﹣5×(﹣3)+(﹣9)×(3)+17×(﹣3)
(6)()÷(﹣)
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【題目】小張第一次用180元購買了8套兒童服裝,以一定價格出售.如果以每套兒童服裝80元的價格為標(biāo)準(zhǔn),超出的記作整數(shù),不足的記作負數(shù),記錄如下(單位:元):
請通過計算說明:
(1)小張賣完這8套兒童服裝后是盈利還是虧損?盈利(或虧損)了多少錢?
(2)每套兒童服裝的平均售價是多少元?
(3)小張第二次用第一次的進價再次購買900元的兒童服裝,如果他預(yù)計第二次每套服裝的平均售價75元,按他的預(yù)計第二次售價可獲利多少元?
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【題目】在菱形ABCD中,∠B=60,E是邊CD上一點,以CE為邊作等邊△CEF.
(1) 如圖1,當(dāng)CE⊥AD ,CF=時,求菱形ABCD的面積;
(2) 如圖2,過點E作∠CEF的平分線交CF于H,連接DH,并延長DH與AC的延長交于點P,若∠ECD=15,求證:.
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