Question

【題目】定義：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的線段和點(diǎn)，在中，當(dāng)邊上的高為2時(shí)，稱為的“等高點(diǎn)”，稱此時(shí)為的“等高距離”．

（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，2)，點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，2)，則在點(diǎn) (1，0)，(，4)， (0，3)中，的“等高點(diǎn)”是點(diǎn)___；

（2）若(0，0)，＝2，當(dāng)的“等高點(diǎn)”在軸正半軸上且“等高距離”最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是__．

Answer 1

【答案】A或B 或

【解析】

（1）根據(jù)“等高點(diǎn)”的概念解答即可；

（2）先證明“等高距離”最小時(shí)△MPQ為等腰三角形，再利用勾股定理求出點(diǎn)Q坐標(biāo)即可．

（1）①∵P（1，2），Q（4，2），

∴在點(diǎn)A（1，0），B（，4）到PQ的距離為2．

∴PQ的“等高點(diǎn)”是A或B，

故答案為：A或B；

（2）如圖2，過PQ的“等高點(diǎn)”M作MN⊥PQ于點(diǎn)N，

∴PQ=2，MN=2．

設(shè)PN=x，則NQ=2-x，

在Rt△MNP和Rt△MNQ中，由勾股定理得：

MP2=22+x2=4+x2，MQ2=22+（2-x）2=x2-4x+8，

∴MP2+MQ2=2x2-4x+12=2（x-1）2+10，

∵MP2+MQ2≤（MP+MQ）2，

∴當(dāng)MP2+MQ2最小時(shí)MP+MQ也最小，此時(shí)x=1，

即PN=NQ，

∴△MPQ為等腰三角形，

∴MP=MQ=，

如圖3，設(shè)Q坐標(biāo)為（x，y），過點(diǎn)Q作QE⊥y軸于點(diǎn)E，

則在Rt△MNP和Rt△MNQ中由勾股定理得：

QE2=QP2-OE2=22-y2=4-y2，QE2=QM2-ME2=，

∴，

解得y=，

QE2=4-y2=4-（）2=，

當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限時(shí)x，當(dāng)點(diǎn)Q在第二象限時(shí)x，

∴或，

故答案為：或．