Question

如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點P是劣弧BC上一點（端點除外），∠APB=∠APC=60°．
（1）判斷△ABC形狀，并證明．
（2）探究線段PA，PB，PC三者數(shù)量關(guān)系，并證明．
（3）若PA=a，求四邊形ABPC的面積．（用a的代數(shù)式表示）

Answer 1

考點：圓周角定理,全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）△ABC形狀是等邊三角形，根據(jù)圓周角定理和等邊三角形的判定方法證明即可；
（2）猜想：AP=BP+CP，可通過構(gòu)建全等三角形來求解；
（3）延長PB至M，使得MB=PC，連接AM，由全等三角形的判定定理可知△AMB≌△APC，進(jìn)而可得出S_{四邊形ABPC}=S_{△AMP的面積}，故可求出答案．

解答：（1）解：△ABC形狀是等邊三角形，理由如下：

（2）△ABC形狀是等邊三角形，理由如下：
證明：延長BP使PD=PC，連接CD，
∵∠APC=60°，∠BPC=120°，
∴∠PBC=∠PAC．
∴∠CPD=60°．
∴△PCD是等邊三角形．
∴∠D=60°=∠APC．
在△BCD和△ACP中，

∠D=∠APC ∠DBC=∠PAC BC=AC

，
∴△BCD≌△ACP．
∴BD=AP．
∵BD=BP+PD=BP+CP，
∴AP=BP+CP．

（3）解：延長PB至M，使得MB=PC，連接AM，則
在△AMB和△APC中，

AB=AC ∠MAB=∠PAC MB=PC

，
∴△AMB≌△APC（SAS），
∴AM=AP，∠MAB=∠PAC，
又∵∠BAC=60°，
∴△MAP為正三角形，
∴S_{四邊形ABPC}=S_{△AMP的面積}=

3

4

a²．

點評：本題考查的是圓周角定理、等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．