Question

（2013•湖州）如圖①，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，四邊形OACB是平行四邊形，sin∠AOB=

4

5

，反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，與BC交于點(diǎn)F．
（1）若OA=10，求反比例函數(shù)解析式；
（2）若點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，且△AOF的面積S=12，求OA的長和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在（2）中的條件下，過點(diǎn)F作EF∥OB，交OA于點(diǎn)E（如圖②），點(diǎn)P為直線EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PO．是否存在這樣的點(diǎn)P，使以P、O、A為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先過點(diǎn)A作AH⊥OB，根據(jù)sin∠AOB=

4

5

，OA=10，求出AH和OH的值，從而得出A點(diǎn)坐標(biāo)，再把它代入反比例函數(shù)中，求出k的值，即可求出反比例函數(shù)的解析式；
（2）先設(shè)OA=a（a＞0），過點(diǎn)F作FM⊥x軸于M，根據(jù)sin∠AOB=

4

5

，得出AH=

4

5

a，OH=

3

5

a，求出S_△AOH的值，根據(jù)S_△AOF=12，求出平行四邊形AOBC的面積，根據(jù)F為BC的中點(diǎn)，求出S_△OBF=6，
根據(jù)BF=

1

2

a，∠FBM=∠AOB，得出S_△BMF=

1

2

BM•FM，S_△FOM=6+

3

50

a²，再根據(jù)點(diǎn)A，F(xiàn)都在y=

k

x

的圖象上，S_△AOH=

1

2

k，求出a，最后根據(jù)S_{平行四邊形AOBC}=OB•AH，得出OB=AC=3

3

，即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）分別根據(jù)當(dāng)∠APO=90°時(shí)，在OA的兩側(cè)各有一點(diǎn)P，得出P₁，P₂；當(dāng)∠PAO=90°時(shí)，求出P₃；當(dāng)∠POA=90°時(shí)，求出P₄即可．

解答：解：（1）過點(diǎn)A作AH⊥OB于H，
∵sin∠AOB=

4

5

，OA=10，
∴AH=8，OH=6，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（6，8），根據(jù)題意得：
8=

k

6

，可得：k=48，
∴反比例函數(shù)解析式：y=

48

x

（x＞0）；

（2）設(shè)OA=a（a＞0），過點(diǎn)F作FM⊥x軸于M，
∵sin∠AOB=

4

5

，
∴AH=

4

5

a，OH=

3

5

a，
∴S_△AOH=

1

2

•

4

5

a•

3

5

a=

6

25

a²，
∵S_△AOF=12，
∴S_{平行四邊形AOBC}=24，
∵F為BC的中點(diǎn)，
∴S_△OBF=6，
∵BF=

1

2

a，∠FBM=∠AOB，
∴FM=

2

5

a，BM=

3

10

a，
∴S_△BMF=

1

2

BM•FM=

1

2

•

2

5

a•

3

10

a=

3

50

a²，
∴S_△FOM=S_△OBF+S_△BMF=6+

3

50

a²，
∵點(diǎn)A，F(xiàn)都在y=

k

x

的圖象上，
∴S_△AOH=

1

2

k，
∴

6

25

a²=6+

3

50

a²，
∴a=

10

3

3

，
∴OA=

10

3

3

，
∴AH=

8

3

3

，OH=2

3

，
∵S_{平行四邊形AOBC}=OB•AH=24，
∴OB=AC=3

3

，
∴C（5

3

，

8

3

3

）；

（3）存在三種情況：
當(dāng)∠APO=90°時(shí)，在OA的兩側(cè)各有一點(diǎn)P，分別為：P₁（

8

3

3

，

4

3

3

），P₂（-

2

3

3

，

4

3

3

），
當(dāng)∠PAO=90°時(shí)，P₃（

34

9

3

，

4

3

3

），
當(dāng)∠POA=90°時(shí)，P₄（-

16

9

3

，

4

3

3

）．

點(diǎn)評：此題考查了反比例函數(shù)的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)、平行四邊形、反比例函數(shù)、三角形的面積等，要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，要注意（3）有三種情況，不要漏解．