Question

5．如圖1，AB為⊙O的直徑，TA為⊙O的切線，BT交⊙O于點D，TO交⊙O于點C、E．
（1）若BD=TD，求證：AB=AT；
（2）在（1）的條件下，求tan∠BDE的值；
（3）如圖2，若$\frac{BD}{TD}$=$\frac{4}{3}$，且⊙O的半徑r=$\sqrt{7}$，則圖中陰影部分的面積為$\frac{7π}{6}$+$\frac{7\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 （1）連接AD，如圖1，根據(jù)圓周角定理可得AD⊥BD，然后運用線段垂直平分線的性質(zhì)就可解決問題；
（2）過E作EH⊥AB，交AB于H，連接AE，如圖1，設(shè)OH=x，易證△OAT∽△OHE，然后運用相似三角形的性質(zhì)可求出HE，然后運用勾股定理求出OE，即可得到AH，然后把∠BDE轉(zhuǎn)化為∠BAE，就可解決問題；
（3）連接AD，AC，如圖2，設(shè)BD=4m，則DT=3m，然后運用相似三角形的性質(zhì)和勾股定理可求出AD、AB、TA（用m表示），然后運用三角函數(shù)可求出∠OTA的度數(shù)，然后只需求出△OEA及扇形OAC的面積就可解決問題．

解答 解：（1）連接AD，如圖1．
∵AB是直徑，∴AD⊥BD．
又∵BD=TD，∴AD垂直平分BT，
∴AB=AT；

（2）過E作EH⊥AB，交AB于H，連接AE，如圖1，
∵TA為⊙O的切線，
∴OA⊥AT，
∴HE∥AT．
∴△OAT∽△OHE．
∴$\frac{OA}{TA}$=$\frac{OH}{HE}$=$\frac{1}{2}$．
設(shè)OH=x，則HE=2x，OE=$\sqrt{5}$x，AH=（$\sqrt{5}$+1）x，
∴tan∠BAE=$\frac{HE}{AH}$=$\frac{2}{\sqrt{5}+1}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
∵∠BDE=∠BAE，
∴tan∠BDE=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；

（3）連接AD，AC，如圖2．
設(shè)BD=4m，由$\frac{BD}{TD}$=$\frac{4}{3}$可得DT=3m．
∵AD⊥BT，BA⊥AT，
∴∠BDA=∠ADT=90°，∠BAD=∠DTA=90°-∠DAT，
∴△BDA∽△ADT，
∴$\frac{DA}{DT}$=$\frac{DB}{DA}$，
∴AD²=DB•DT=12m²，
∴AD=2$\sqrt{3}$m．
同理可得：AB=2$\sqrt{7}$m，TA=$\sqrt{21}$m，
∴OA=$\sqrt{7}$m，
∴tan∠OTA=$\frac{OA}{TA}$=$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{21}}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OTA=30°，
∴∠AOC=60°，
∴∠CEA=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°，
∴CA=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{7}$，
∴AE=$\sqrt{21}$．
∴S_△CEA=$\frac{1}{2}$AC•AE=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$，
∵S_扇形OAC=$\frac{60π•（\sqrt{7}）^{2}}{360}$=$\frac{7π}{6}$，S_△OEA=$\frac{1}{2}$S_△CEA=$\frac{7\sqrt{3}}{4}$，
∴S_陰影=$\frac{7π}{6}$+$\frac{7\sqrt{3}}{4}$．
故答案為$\frac{7π}{6}$+$\frac{7\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、扇形的面積公式等知識，把∠BDE轉(zhuǎn)化為∠BAE是解決第（2）小題的關(guān)鍵，求出∠OTA的度數(shù)是解決第（3）小題的關(guān)鍵．