Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2-11ax+24a（a＜0）與x軸交于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），拋物線上另有一點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，且∠BAC=90°．

（1）求線段OC的長(zhǎng)和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）連接OA，將△OAC沿x軸翻折后得△ODC，當(dāng)四邊形OACD是菱形時(shí)，求此時(shí)拋物線的解析式；

（3）如圖2，折垂直于x軸的直線l：x=n與（2）中所求的拋物線交于點(diǎn)M，與CD交于點(diǎn)N，若直線l沿x軸方向左右平移，且交點(diǎn)M始終位于拋物線上A、C兩點(diǎn)之間時(shí)，試探究：當(dāng)n為何值時(shí)，四邊形AMCN的面積取得最大值，并求這個(gè)最大值；

（4）在（3）的條件下，當(dāng)取得最大值時(shí)，四邊形ADNM是否為平行四邊形？直接回答 （是或不是）．如果不是，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）OC=8，B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；（2）拋物線的解析式為y=-x2+x-12；（3）最大值為9；（4）不，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，3）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)求法，解一元二次方程即可得出；

（2）利用菱形性質(zhì)得出AD⊥OC，進(jìn)而得出△ACE∽△BAE，即可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出二次函數(shù)解析式；

（3）首先求出過C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)的直線CD的解析式，進(jìn)而利用S四邊形AMCN=S△AMN+S△CMN求出即可；

（4）由條件可求得AD和MN，此時(shí)AD≠MN，可判定四邊形ADNM不是平行四邊形，由（3）容易求得M的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2-11ax+24a （a＜0）與x軸交于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），

∴令y=0可得0=ax2-11ax+24a，解得x1=3，x2=8，

∴OC=8，B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；

（2）如圖1，連接AD，交OC于點(diǎn)E，

∵四邊形OACD是菱形，

∴AD⊥OC，OE=EC=OC=×8=4，

∴BE=4-3=1，

又∵∠BAC=90°，

∴△ACE∽△BAE，

∴，

∴AE2=BECE=1×4，

∴AE=2，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），

把點(diǎn)A的坐標(biāo)（4，2）代入拋物線y=ax2-11ax+24a，得a=-，

∴拋物線的解析式為y=-x2+x-12；

（3）如圖2，連接AD，交OC于點(diǎn)E，

∵直線x=n與拋物線交于點(diǎn)M，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（n，-n2+n-12），

由（2）知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，-2），

設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，

把C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，解得，

∴直線CD的解析式為y=x-4，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，n-4），

∴MN=（-n2+n-12）-（n-4）=-n2+5n-8，

∴S四邊形AMCN=S△AMN+S△CMN=MNCE=（-n2+5n-8）×4=-（n-5）2+9，

∴當(dāng)n=5時(shí)，四邊形AMCN的面積有最大值，最大值為9；

（4）由（3）可知n=5，且MN=9，

∵A（4，2），D（4，-2），

∴AD=4≠MN，

∴四邊形ADNM不是平行四邊形，

當(dāng)n=5時(shí)，代入y=-n2+n-12可求得y=3，

∴此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，3）.