Question

已知：如圖①，在平行四邊形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD為斜邊在平行四邊形ABCD的內(nèi)部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°．
（1）求△AED的周長；
（2）若△AED以每秒2個(gè)單位長度的速度沿DC向右平行移動(dòng)，得到△AED，當(dāng)AD與BC重合時(shí)停止移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△AED與△BDC重疊的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（3）如圖②，在（2）中，當(dāng)△AED停止移動(dòng)后得到△BEC，將△BEC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°），在旋轉(zhuǎn)過程中，B的對應(yīng)點(diǎn)為B₁，E的對應(yīng)點(diǎn)為E₁，設(shè)直線B₁E₁與直線BE交于點(diǎn)P、與直線CB交于點(diǎn)Q．是否存在這樣的α，使△BPQ為等腰三角形？若存在，求出α的度數(shù)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△ADE中，解直角三角形即可；
（2）在△AED向右平移的過程中：
（I）當(dāng)0≤t≤1.5時(shí)，如答圖1所示，此時(shí)重疊部分為一個(gè)三角形；
（II）當(dāng)1.5＜t≤4.5時(shí)，如答圖2所示，此時(shí)重疊部分為一個(gè)四邊形；
（III）當(dāng)4.5＜t≤6時(shí)，如答圖3所示，此時(shí)重疊部分為一個(gè)五邊形．
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)和等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行探究，結(jié)論是：存在α（30°和75°），使△BPQ為等腰三角形．如答圖4、答圖5所示．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC=6．
在Rt△ADE中，AD=6，∠EAD=30°，
∴AE=AD•cos30°=3，DE=AD•sin30°=3，
∴△AED的周長為：6+3+3=9+3．

（2）在△AED向右平移的過程中：
（I）當(dāng)0≤t≤1.5時(shí)，如答圖1所示，此時(shí)重疊部分為△DNK．

∵DD=2t，∴ND=DD•sin30°=t，NK=ND÷tan30°=t，
∴S=S_△D0NK=ND•NK=t•t=t²；
（II）當(dāng)1.5＜t≤4.5時(shí)，如答圖2所示，此時(shí)重疊部分為四邊形DEKN．

∵AA=2t，∴AB=AB-AA=12-2t，
∴AN=AB=6-t，NK=AN•tan30°=（6-t）．
∴S=S_{四邊形D0E0KN}=S_△A0D0E0-S_△A0NK=×3×3-×（6-t）×（6-t）=t²+t-；
（III）當(dāng)4.5＜t≤6時(shí)，如答圖3所示，此時(shí)重疊部分為五邊形DIJKN．

∵AA=2t，∴AB=AB-AA=12-2t=DC，
∴AN=AB=6-t，DN=6-（6-t）=t，BN=AB•cos30°=（6-t）；
易知CI=BJ=AB=DC=12-2t，∴BI=BC-CI=2t-6，
S=S_梯形BND0I-S_△BKJ=[t+（2t-6）]•（6-t）-•（12-2t）•（12-2t）=t²+t-．
綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：
S=．

（3）存在α，使△BPQ為等腰三角形．
理由如下：經(jīng)探究，得△BPQ∽△B₁QC，
故當(dāng)△BPQ為等腰三角形時(shí)，△B₁QC也為等腰三角形．
（I）當(dāng)QB=QP時(shí)（如答圖4），

則QB₁=QC，∴∠B₁CQ=∠B₁=30°，
即∠BCB₁=30°，
∴α=30°；
（II）當(dāng)BQ=BP時(shí)，則B₁Q=B₁C，
若點(diǎn)Q在線段B₁E₁的延長線上時(shí)（如答圖5），

∵∠B₁=30°，∴∠B₁CQ=∠B₁QC=75°，
即∠BCB₁=75°，
∴α=75°；
若點(diǎn)Q在線段E₁B₁的延長線上時(shí)（如答圖6），

∵∠B₁=30°，∴∠B₁CQ=∠B₁QC=15°，
即∠BCB₁=180°-∠B₁CQ=180°-15°=165°，
∴α=165°．
綜上所述，存在α=30°，75°或165°，使△BPQ為等腰三角形．
點(diǎn)評：本題考查了運(yùn)動(dòng)型與幾何變換綜合題，難度較大．難點(diǎn)在于：其一，第（2）問的運(yùn)動(dòng)型問題中，分析三角形的運(yùn)動(dòng)過程，明確不同時(shí)段的重疊圖形形狀，是解題難點(diǎn)；其二，第（3）問的存在型問題中，探究出符合題意的旋轉(zhuǎn)角，并且做到不重不漏，是解題難點(diǎn)；其三，本題第（2）問中，計(jì)算量很大，容易失分．