Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+n（k≠0）與拋物線y=-$\frac{1}{4}{x^2}$+bx+c交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，OA=2，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-8，且tan∠OAB=$\frac{3}{4}$．
（1）求直線AB和拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是位于直線AB上方的拋物線上一動點(diǎn)（不與A、B重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)H：
①設(shè)△PDE的周長為m，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，求m與t的函數(shù)關(guān)系式；
②連接PA，以PA為邊在PA的下方作如圖所示的正方形APFQ，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動，正方形的大小、位置也隨之改變，請直接寫出當(dāng)頂點(diǎn)Q恰好落在y軸上時P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先求出點(diǎn)A坐標(biāo)，在根據(jù)正切值求出點(diǎn)B坐標(biāo)．進(jìn)一步求出直線AB解析式即可；把A，B，坐標(biāo)代入即可求出、拋物線解析式；
（2）①設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，表示點(diǎn)D坐標(biāo)結(jié)合三角函數(shù)即可表示三角形的周長；
②根據(jù)題意先論證△ACP≌△AOQ，求出CP長度，代入拋物線解析式求解即可．

解答 解：（1）如圖1

點(diǎn)A在x軸上，OA=2，
∴點(diǎn)A（2，0），
由tan∠OAB=$\frac{3}{4}$，可設(shè)直線AB的解析式為：y=$\frac{3}{4}$x+n，
代入點(diǎn)A（2，0）解得：n=$-\frac{3}{2}$，
∴直線AB解析式為：y=$\frac{3}{4}$x$-\frac{3}{2}$，
過點(diǎn)B作BG⊥x軸，垂足為G，
把x=-8代入直線AB，解得：y=$-\frac{15}{2}$，
∴點(diǎn)B（-8，$-\frac{15}{2}$），
∵拋物線y=-$\frac{1}{4}{x^2}$+bx+c過A、B兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-1+2b+c}\\{-\frac{15}{2}=-16-8b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{4}}\\{c=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為：y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{5}{2}$，
（2）如圖2


①令P（t，$-\frac{1}{4}{t}^{2}-\frac{3}{4}t+\frac{5}{2}$），∴D（t，$\frac{3}{4}t-\frac{3}{2}$），
∴PD=$-\frac{1}{4}{t}^{2}-\frac{3}{2}t+4$，
∵∠ACP=∠PEA=90°，∠PHC=∠AHE，
∴∠OAB=∠EPD，
∵tan∠OAB=tan∠EPD=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{DE}{PE}=\frac{3}{4}$，
令DE=3a，則PE=4a，∴PD=5a，
即$-\frac{1}{4}{t}^{2}-\frac{3}{2}t+4=5a$，
∴a=$-\frac{1}{20}{t}^{2}-\frac{3}{10}t+\frac{4}{5}$，
又∵m=PD+DE+EP=12a=$-\frac{3}{5}{t}^{2}-\frac{18}{5}t+\frac{48}{5}$，
②當(dāng)頂點(diǎn)Q恰好落在y軸上時，
∵∠PAC+∠OAQ=∠OAQ+∠AQO=90°
∴∠PAC=∠AQO，
在△ACP和△QOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAC=∠AQO}\\{∠AOQ=∠ACP=90°}\\{AQ=AP}\end{array}\right.$
∴△ACP≌△QOA，
∴PC=OA=2，
把y=2代入拋物線解析式得：$-\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{5}{2}$=2，
解得：x=$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，或x=$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，
∴此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，2），（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，2）．

點(diǎn)評 此題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會求交點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)求拋物線的解析式，會根據(jù)正方形的性質(zhì)進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．