Question

在平面直角坐標中，點O₁（-4，0），半徑為8的⊙O₁與x軸交于A、B，過A作直線l與x軸負方向成60°角，且交y軸于點C，以點O₂（13，5）為圓心的圓與x軸切于點D．
（1）求直線l的解析式；
（2）將⊙O₂以每秒1個單位長的速度沿x軸向左平移，當⊙O₂第一次與⊙O₁外切時，求平移的時間．

Answer 1

解：（1）由題意得OA=|-4|+|8|=12，
∴A點坐標為（-12，0）．
∵在Rt△AOC中，∠OAC=60°，
OC=OAtan∠OAC=12×tan60°=12 ．
∴C點的坐標為（0，-12 ）．
設直線l的解析式為y=kx+b，
由l過A、C兩點，
得 ，解得
∴直線l的解析式為：y=-x-12 ．

（2）如圖，設⊙O₂平移t秒后到⊙O₃處與⊙O₁第一次外切于點P，⊙O₃與x軸相切于D₁點，連接O₁O₃，O₃D₁．
則O₁O₃=O₁P+PO₃=8+5=13．
∵O₃D₁⊥x軸，∴O₃D₁=5，
在Rt△O₁O₃D₁中，．
∵O₁D=O₁O+OD=4+13=17，∴D₁D=O₁D-O₁D₁=17-12=5，
∴（秒）．
∴⊙O₂平移的時間為5秒．
分析：（1）求直線的解析式，可以先求出A、C兩點的坐標，就可以根據待定系數法求出函數的解析式．
（2）設⊙O₂平移t秒后到⊙O₃處與⊙O₁第一次外切于點P，⊙O₃與x軸相切于D₁點，連接O₁O₃，O₃D₁．在直角△O₁O₃D₁中，根據勾股定理，就可以求出O₁D₁，進而求出D₁D的長，得到平移的時間．
點評：本題綜合了待定系數法求函數解析式，以及圓的位置關系，其中兩圓相切時的輔助線的作法是經常用到的．