【題目】如圖1,在直角坐標系xoy中,直線l:y=kx+b交x軸,y軸于點E,F(xiàn),點B的坐標是(2,2),過點B分別作x軸、y軸的垂線,垂足為A、C,點D是線段CO上的動點,以BD為對稱軸,作與△BCD或軸對稱的△BC′D.

(1)當∠CBD=15°時,求點C′的坐標.

(2)當圖1中的直線l經(jīng)過點A,且時(如圖2),求點D由C到O的運動過程中,線段BC′掃過的圖形與△OAF重疊部分的面積.

(3)當圖1中的直線l經(jīng)過點D,C′時(如圖3),以DE為對稱軸,作于△DOE或軸對稱的△DO′E,連結(jié)O′C,O′O,問是否存在點D,使得△DO′E與△CO′O相似?若存在,求出k、b的值;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)C,1);(2);(3)存在,k=,b=1.

【解析】

試題分析:(1)利用翻折變換的性質(zhì)得出∠CBD=∠C′BD=15°,C′B=CB=2,進而得出CH的長,進而得出答案;

(2)首先求出直線AF的解析式,進而得出當D與O重合時,點C′與A重合,且BC′掃過的圖形與△OAF重合部分是弓形,求出即可;

(3)根據(jù)題意得出△DO′E與△COO′相似,則△COO′必是Rt△,進而得出Rt△BAE≌Rt△BC′E(HL),再利用勾股定理求出EO的長進而得出答案.

試題解析:(1)∵△CBD≌△C′BD,∴∠CBD=∠C′BD=15°,C′B=CB=2,∴∠CBC′=30°,如圖1,作C′H⊥BC于H,則C′H=1,HB=,∴CH=,∴點C′的坐標為:(,1);

(2)如圖2,∵A(2,0),,∴代入直線AF的解析式為:,∴b=,則直線AF的解析式為:,∴∠OAF=30°,∠BAF=60°,∵在點D由C到O的運動過程中,BC′掃過的圖形是扇形,∴當D與O重合時,點C′與A重合,且BC′掃過的圖形與△OAF重合部分是弓形,當C′在直線上時,BC′=BC=AB,∴△ABC′是等邊三角形,這時∠ABC′=60°,∴重疊部分的面積是:=;

(3)如圖3,設OO′與DE交于點M,則O′M=OM,OO′⊥DE,若△DO′E與△COO′相似,則△COO′必是Rt△,在點D由C到O的運動過程中,△COO′中顯然只能∠CO′O=90°,∴CO′∥DE,∴CD=OD=1,∴b=1,連接BE,由軸對稱性可知C′D=CD,BC′=BC=BA,∠BC′E=∠BCD=∠BAE=90°,在Rt△BAE和Rt△BC′E中,BE=BE,AB=BC,∴Rt△BAE≌Rt△BC′E(HL),∴AE=C′E,∴DE=DC′+C′E=DC+AE,設OE=x,則AE=2﹣x,∴DE=DC+AE=3﹣x,由勾股定理得:,解得:x=,∵D(0,1),E(,0),∴,解得:k=,∴存在點D,使△DO′E與△COO′相似,這時k=,b=1.

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