Question

（2012•白下區(qū)一模）概念理解
把一個或幾個圖形分割后，不重疊、無縫隙的重新拼成另一個圖形的過程叫做“剖分--重拼”．如圖1，一個梯形可以剖分--重拼為一個三角形；如圖2，任意兩個正方形可以剖分--重拼為一個正方形．
嘗試操作
如圖3，把三角形剖分--重拼為一個矩形．（只要畫出示意圖，不需說明操作步驟）

閱讀解釋
如何把一個矩形ABCD（如圖4）剖分--重拼為一個正方形呢？操作如下：
①畫輔助圖．作射線OX，在射線OX上截取OM=AB，MN=BC．以O(shè)N為直徑作半圓，過點(diǎn)M作MI⊥射線OX，與半圓交于點(diǎn)I；
②圖4中，在CD上取點(diǎn)F，使AF=MI，作BE⊥AF，垂足為E．把△ADF沿射線DC平移到△BCH的位置，把△AEB沿射線AF平移到△FGH的位置，得四邊形EBHG．
請說明按照上述操作方法得到的四邊形EBHG是正方形．

拓展延伸
任意一個多邊形是否可以通過若干次的剖分--重拼成一個正方形？如果可以，請簡述操作步驟；如果不可以，請說明理由．

Answer 1

分析：嘗試操作：先作三角形的一條中位線，把三角形分成一個三角形與梯形，然后作出分成的三角形的高線，分別平移即可；或者先作一條中位線，然后過一個頂點(diǎn)作第三邊的高線，把兩個三角形平移即可；
閱讀解釋：連接OI、NI，先利用相似三角形對應(yīng)邊成比例證明IM²=OM•NM，根據(jù)操作方法可得AF²=AB•AD，然后證明△DFA和△EAB相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式整理可得AF•BE=AB•AD，從而得到AF=BE，再根據(jù)四邊形EBHG是平行四邊形且有一個角是直角即可證明四邊形EBHG是正方形；
拓展延伸：把多邊形先剖分成若干個三角形，把三角形剖分成矩形，把矩形剖分成正方形，把每兩個正方形剖分成一個正方形，最后即可得解．

解答：解：嘗試操作，
答案不唯一，如：

閱讀解釋
在輔助圖中，連接OI、NI．
∵ON是所作半圓的直徑，
∴∠OIN=90°．
∵M(jìn)I⊥ON，
∴∠OMI=∠IMN=90°且∠OIM=∠INM．
∴△OIM∽△INM．
∴

OM

IM

=

IM

NM

．
即IM²=OM•NM．…（3分）
在圖4中，根據(jù)操作方法可知，AF²=AB•AD．
∵四邊形ABCD是矩形，BE⊥AF，
∴DC∥AB，∠ADF=∠BEA=90°．
∴∠DFA=∠EAB．
∴△DFA∽△EAB．
∴

AD

BE

=

AF

AB

．
即AF•BE=AB•AD．（注：用面積法說明也可．）…（4分）
∴AF=BE．…（5分）
即BH=BE．
由操作方法知BE∥GH，BE=GH．
∴四邊形EBHG是平行四邊形．
∵∠GEB=90°，
∴四邊形EBHG是正方形．…（6分）

拓展延伸
可以．采用以下剖分--重拼步驟：
（1）將多邊形剖分為若干三角形；
（2）每個三角形剖分--重拼為一個矩形；
（3）每個矩形剖分--重拼為一個正方形；
（4）每兩個正方形剖分--重拼為一個正方形．…（10分）

點(diǎn)評：本題考查了利用軸對稱作圖，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，讀懂題目提供的信息并掌握利用是解題的關(guān)鍵．