Question

9．如圖，將線段AB放在邊長為1的小正方形網格，點A點B均落在格點上，請只用一把無刻度直尺作圖：①線段AB上畫出點P，使AP=$\frac{\sqrt{17}}{3}$；②作△ABC，使點C落在格點上，并且使△ABC的面積為6（只作一個）；③作線段CD=$\frac{12\sqrt{17}}{17}$．
請在圖上標注字母，并寫出結論．

Answer 1

分析 ①連接MN交AB于點P，點P即為所求；由勾股定理求出AB，由平行線得出△AMP∽△BNP，得出對應邊成比例，求出AP即可；
②由△ABC的面積=6=$\frac{1}{2}$×4×3，得出AC=3，畫出圖形即可；
③連接CF，交AB于D，CD即為所求；由SAS證明△ABE≌△CFG，得出∠BAE=∠FCG，證出∠ADC=90°，得出CD⊥AB，由△ABC的面積求出CD即可．

解答 解：①如圖1所示：
連接MN交AB于點P，點P即為所求；理由如下：
由勾股定理得：AB=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∵AM∥BN，
∴△AMP∽△BNP，
∴$\frac{AP}{BP}=\frac{AM}{BN}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{1}{3}$，
∴AP=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{\sqrt{17}}{3}$；
②如圖2所示：
③如圖3所示：
連接CF，交AB于D，CD即為所求；理由如下：
在△ABE和△CFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=FG=1}&{\;}\\{∠AEB=∠CGF=90°}&{\;}\\{AE=CG=4}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CFG（SAS），
∴∠BAE=∠FCG，
∴∠FCG+∠BAC=∠BAE+∠BAC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴CD⊥AB，
∵△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{1}{2}$AB•CD，
∴CD=$\frac{12\sqrt{17}}{17}$．

點評 本題考查了正方形的性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、三角形面積的計算等知識；本題有一定難度，證明三角形相似和三角形全等是解決問題的關鍵．