Question

如圖,在平面直角坐標系xoy中,拋物線與x軸,y軸的交點分別為點A,點B,過點B作x軸的平行線BC,交拋物線于點C,連結(jié)AC．現(xiàn)有兩動點P,Q分別從O,C兩點同時出發(fā),點P以每秒4個單位的速度沿OA向終點A移動,點Q以每秒1個單位的速度沿CB向點B移動,點P停止運動時,點Q也同時停止運動,線段OC,PQ相交于點D,過點D作DE∥OA,交CA于點E,射線QE交x軸于點F．設動點P,Q移動的時間為t(單位:秒)

(1)求A,B,C三點的坐標和拋物線的頂點的坐標;

(2)當t為何值時,四邊形PQCA為平行四邊形?請寫出計算過程;

(3)當0＜t＜時,△PQF的面積是否總為定值?若是,求出此定值,若不是,請說明理由;

(4)當t為何值時,△PQF為等腰三角形?請寫出解答過程．

Answer 1

解：（1），令得，

∴或∴；

在中，令得即；

由于BC∥OA，故點C的縱坐標為－10，由得或

即且易求出頂點坐標為

于是，，頂點坐標為。

（2）若四邊形PQCA為平行四邊形，由于QC∥PA。故只要QC=PA即可，而故得；

（3）設點P運動秒，則，，說明P在線段OA上，且不與點OA、重合，

由于QC∥OP知△QDC∽△PDO，故

∴∴

又點Q到直線PF的距離，∴，

于是△PQF的面積總為90。

（4）由上知，，。構(gòu)造直角三角形后易得

①     若FP=PQ，即，故，

∵∴∴

②     若QP=QF，即，無的滿足條件；

③     若PQ=PF，即，得，∴或都不滿足，故無的滿足方程；

綜上所述：當時，△PQR是等腰三角形。