Question

如圖，AB是⊙0的直徑，C是⊙0上的一點(diǎn)，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，過點(diǎn)A作直線MN的垂線，垂足為點(diǎn)D，且∠BAC=∠DAC．

（1）猜想直線MN與⊙0的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若CD=6，cos=∠ACD=，求⊙0的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：

切線的判定；解直角三角形．

分析：

（1）連接OC，推出AD∥OC，推出OC⊥MN，根據(jù)切線的判定推出即可；

（2）求出AD、AB長(zhǎng)，證△ADC∽△ACB，得出比例式，代入求出AB長(zhǎng)即可．

解答：

解：（1）直線MN與⊙0的位置關(guān)系是相切，

理由是：連接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵∠CAB=∠DAC，

∴∠DAC=∠OCA，

∴OC∥AD，

∵AD⊥MN，

∴OC⊥MN，

∵OC為半徑，

∴MN是⊙O切線；

（2）∵CD=6，cos∠ACD==，

∴AC=10，由勾股定理得：AD=8，

∵AB是⊙O直徑，AD⊥MN，

∴∠ACB=∠ADC=90°，

∵∠DAC=∠BAC，

∴△ADC∽△ACB，

∴=，

∴=，

∴AB=12.5，

∴⊙O半徑是×12.5=6.25．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了切線的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．