Question

已知拋物線y=-x²+2kx-k²+k+1（k是常數(shù)）
（1）通過(guò)配方，寫(xiě)出拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求證：不論k取任何實(shí)數(shù)，拋物線的頂點(diǎn)都在某一次函數(shù)的圖象上．并指出此一次函數(shù)的解析式；
（3）設(shè)此拋物線與y軸的交點(diǎn)為A（0，1），其頂點(diǎn)為B．試問(wèn)：在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使△ABP的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由．

Answer 1

分析：（1）把函數(shù)關(guān)系式化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=-x²+2kx=k²+k+1=-（x-k）²+k+1，可得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（k，k+1），對(duì)稱軸是x=k．
（2）因把拋物線的頂點(diǎn)（k，k+1），寫(xiě)成方程組

x=k y=k+1

，消去k得，y=x+1，由此可見(jiàn)函數(shù)y=x+1是所求函數(shù)的解析式．
（3）把點(diǎn)A（0，1），代入二次函數(shù)可知，1=-k²+k+1，解得k=0或k=1，分別把k值代入題中確定，當(dāng)k=1時(shí)，k+1=2，他的頂點(diǎn)為B（1，2），取AP+PB最小，點(diǎn)P為所求的點(diǎn)．設(shè)直線A′B的解析式為y=ax+b，把點(diǎn)A′（0，-1），B（1，2），代入解析式可得

-1=b 2=a+b

，解得y=3x-1，因?yàn)辄c(diǎn)P在x軸上，所以當(dāng)y=0時(shí)，x=

1

3

，所以當(dāng)點(diǎn)p的坐標(biāo)為（

1

3

，0）時(shí)，△ABP的周長(zhǎng)最小．

解答：解：（1）因?yàn)閥=-x²+2kx-k²+k+1=-（x-k）²+k+1，
所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（k，k+1），對(duì)稱軸是x=k．

（2）因?yàn)閽佄锞�的頂點(diǎn)為（k，k+1），
所以

x=k y=k+1

，
消去k得，y=x+1
由此可見(jiàn)，不論k取任何實(shí)數(shù)，拋物線的頂點(diǎn)（k，k+1）都滿足函數(shù)y=x+1，
即在一次函數(shù)y=x+1的圖象上．
所以函數(shù)y=x+1是所求函數(shù)的解析式．

（3）符合條件的點(diǎn)P存在．
因?yàn)辄c(diǎn)A（0，1）_在拋物線上，
所以，1=-k²+k+1，
解得k=0或k=1，
①當(dāng)k=0時(shí)，k+1=1，所以它的頂點(diǎn)是B（0，1）與點(diǎn)A重合，不合題意，舍去．所以k≠0
②當(dāng)k=1時(shí)，k+1=2，他的頂點(diǎn)為B（1，2），
因?yàn)辄c(diǎn)A、B已經(jīng)確定，所以AB的長(zhǎng)度為定值，
所以要使△ABP的周長(zhǎng)最小，只須AP+PB的和最�。�
此時(shí)，取AP+PB最小，所以點(diǎn)P為所求的點(diǎn)，
設(shè)直線A′B的解析式為y=ax+b，它過(guò)點(diǎn)A′（0，-1），B（1，2），
所以

-1=b 2=a+b

，
解得

a=3 b=-1

，
所以y=3x-1，
因?yàn)辄c(diǎn)P在x軸上，所以當(dāng)y=0時(shí)，x=

1

3

，
所以當(dāng)點(diǎn)p的坐標(biāo)為（

1

3

，0）時(shí)，△ABP的周長(zhǎng)最小．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法以及線段和的最小值問(wèn)題．注意分析題意分情況討論結(jié)果．