Question

如圖所示，E、F、G、H分別是四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，
（1）當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，四邊形EFGH是

菱形

形，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）當(dāng)四邊形ABCD滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形EFGH為正方形？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位線定理“三角形的中位線等于第三邊的一半”，根據(jù)菱形的判定，矩形的性質(zhì)，求解即可，
（2）首先利用菱形的性質(zhì)得出平行四邊形ABCD是菱形，再利用正方形的性質(zhì)與判定得出即可．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∵EF=

1

2

AC，EH=

1

2

BD，
∴EF=EH，
同理可得出：EF=EH=GH=GF，
∴四邊形EFGH是菱形；

（2）答：當(dāng)四邊形ABCD滿(mǎn)足AC=BD且AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH為正方形，
證明：∵E、F分別是四邊形ABCD的邊AB、BC的中點(diǎn)，
∴EF∥AC，EF=

1

2

AC，
同理，EH∥BD，EH=

1

2

BD，GF=

1

2

BD，GH=

1

2

AC，
∵AC=BD∴EF=EH=GH=GF，
∴平行四邊形ABCD是菱形．
∵AC⊥BD，∴EF⊥EH，
∴四邊形EFGH是正方形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形的中位線定理、菱形的判定、矩形的性質(zhì)與正方形的判定．解題時(shí)注意中點(diǎn)四邊形的判定：一般中點(diǎn)四邊形是平行四邊形；如果對(duì)角線相等，則得到的中點(diǎn)四邊形是菱形，如果對(duì)角線互相垂直，則得到的中點(diǎn)四邊形是矩形，如果對(duì)角線相等且互相垂直，則得到的中點(diǎn)四邊形是正方形．