Question

如圖1，直線y=-2x+8分別交y軸、x軸于A、B兩點．
（1）求點A、B的坐標(biāo)：
（2）如圖1，點P為線段AB上的動點（點P不與點A、B重合），過點P作PE⊥x軸于點E，作PF⊥y軸于點F，求矩形PEOF的面積S₁與點P的橫坐標(biāo)m之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)m為何值時，S₁最大，最大值是多少？
（3）在（2）的條件下，當(dāng)S₁最大時，將直線l從與直線AB重合的位置出發(fā)，沿y軸負(fù)方向向下平移a（0＜a≤8）個單位，設(shè)直線l掃過矩形PEOF的面積為S₂，求S₂與a之間的函數(shù)關(guān)系式，并在圖2中畫出他們之間的函數(shù)關(guān)系圖象（畫出草圖即可）．

Answer 1

解：（1）在y=-2x+8中，令x=0，解得y=8，則A的坐標(biāo)是（0，8）；
令y=0，解得x=4，則B的坐標(biāo)是（4，0）；

（2）在y=-2x+8中令x=m，則y=-2m+8
則S₁=m（-2m+8），即S₁=-2m²+8m，
當(dāng)m=-=2時，S₁有最大值是-2×2²+8×2=8，此時P的坐標(biāo)是（2，4）；

（3）∵P的坐標(biāo)是（2，4），
∴S_矩形PEOF=8，E的坐標(biāo)是（2，0），F(xiàn)的坐標(biāo)是（0，4），
設(shè)過F切平行于AB的直線解析式是：y=-2x+b，則把（0，4）代入得：b=4，則解析式是y=-2x+b，
在y=-2x+4中，令y=0，解得：x=2，則一定經(jīng)過點E．
則當(dāng)0＜a≤4時，直線l掃過矩形PEOF的部分是直角三角形，設(shè)向下平移a個單位長度，則直線的解析式是：y=-2x+8-a，設(shè)與PF交于點M，在y=-2x+8-a中令y=4，解得：x=2-a，則M的坐標(biāo)是（2-a，4），則PM=a；
設(shè)與PE交于點N，在y=-2x+8-a中令x=2，解得：y=4-a，則N的坐標(biāo)是（2，4-a），則PN=a，則S₁=PM•PN=×a•a=a²；
當(dāng)4＜a≤8時，設(shè)直線與y軸交點是G，則OG=8-a，設(shè)與x軸的交點是H，則OH=（8-a）=4-a，
S_△OGH=OG•OH=（8-a）•（4-a）=（8-a）²．
則S₁=8-（8-a）²．
即S₁=-a²+4a-8．
分析：（1）在y=-2x+8中，令x=0，即可求得A的縱坐標(biāo)，令y=0，即可求得B的橫坐標(biāo)，即可求解；
（2）利用m表示出P的橫縱坐標(biāo)，即可得到矩形PEOF的邊長，利用函數(shù)的性質(zhì)即可求得S₁的最大值；
（3）根據(jù)（2）求得P的坐標(biāo)，以及E、F的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式即可求得函數(shù)的解析式．
點評：本題待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形的面積的綜合應(yīng)用，正確進(jìn)行討論是關(guān)鍵．