Question

如圖，△ABC中，BD、CE是高，EH⊥BC于H、交BD于G、交CA的延長線于M．求證：HE²=HG•MH．

Answer 1

分析：先證△BHE∽△EHC，推EH²=BH•CH，再證△BHG∽△MHC得到比例式，推出HF•HM=BH•HC，即可求出答案．

解答：證明：∵CE⊥AC，EH⊥BC，
∴∠EHB=∠EHC=90°，∠BEC=90°，
∴∠EBH+∠BEH=90°，∠BEH+∠CEH=90°，
∴∠EBH=∠CEH，
∵∠EHB=∠EHC，
∴△BHE∽△EHC，
∴

EH

CH

=

BH

EH

，
∴EH²=CH•BH，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC+∠BCD=90°，
又∠M+∠HCM=90°，
∴∠DBC=∠M，
∠GHB=∠MHC=90°，
∴△BHG∽△MHC，
∴

HG

CH

=

HB

HM

，
∴HG•HM=CH•HB，
∴HE²=HG•HM．

點評：本題主要考查對相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理等知識點的理解和掌握，能求出EH²=CH•BH和BH•CH=HG•HM是解此題的關(guān)鍵．