Question

9．在直角三角形中，兩條直角邊的長(zhǎng)度分別為a和b，斜邊長(zhǎng)度為c，則a²+b²=c²．即兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，此結(jié)論稱為勾股定理．在一張紙上畫(huà)兩個(gè)同樣大小的直角三角形ABC和A'B'C'，并把它們拼成如圖形狀 （點(diǎn)C和A'重合，且兩直角三角形的斜邊互相垂直）．請(qǐng)利用拼得的圖形證明勾股定理．

Answer 1

分析 連接AC′，梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積之和，用字母表示出來(lái)，化簡(jiǎn)后，即證明勾股定理．

解答 證明：在直角三角形ABC中，∵∠1+∠2=90°，∠1=∠3，
∴∠2+∠3=90°，
又∵∠ACC′=90°，
∴∠2+∠3+∠ACC′=180°，
∴B、C（A′）、B′在同一條直線上，
又∠B=90°，∠B′=90°，
∴∠B+∠B′=180°，
∴AB∥C′B′，
連接AC′，過(guò)點(diǎn)C′作C′D⊥AB交AB于點(diǎn)D，

則四邊形ABB′C′面積等于三個(gè)直角三角形面積，
∴$\frac{1}{2}$（a-b）（a+b）+（a+b）b=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²，
即$\frac{1}{2}$a²-$\frac{1}{2}$b²+ab+b²=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²，
a²+2ab+b²=2ab+c²，
∴a²+b²=c²．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了勾股定理的證明，鍛煉了同學(xué)們的數(shù)形結(jié)合的思想方法．