Question

在平面直角坐標系中，以點A（-3，0）為圓心，半徑為5的圓與x軸相交于點B，C（點B在點C的左邊），與y軸相交于點D，M（點D在點M的下方）．
（1）求以直線x=-3為對稱軸，且經(jīng)過點C，D的拋物線的解析式；
（2）若點P是該拋物線對稱軸上的一個動點，求PC+PD的取值范圍；
（3）若E為這個拋物線對稱軸上的點，則在拋物線上是否存在這樣的點F，使得以點B，C，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點F的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圓的對稱性，圓心的坐標和圓的半徑可得出B點的坐標為（-8，0），C點的坐標為（2，0），M點的坐標為（0，4），D點的坐標為（0，-4）．已知拋物線過C，D兩點，且對稱軸為x=-3，可用頂點式二次函數(shù)通式來設出拋物線的解析式，然后將C、D兩點的坐標代入拋物線中即可得出過C、D兩點的二次函數(shù)的解析式．
（2）由于P是動點，因此PC+PD的最大值可以視作為無窮大；那么求PC+PD最小值時，關鍵是找出P點的位置，由于B、C關于拋物線的對稱軸對稱，因此連接BC，直線BC與拋物線對稱軸的交點就是PC+PD最小時P點的位置．那么此時PC+PD=BD，可在直角三角形BOD中用勾股定理求出BD的長，即可得出PC+PD的取值范圍．
（3）本題要分兩種情況進行討論：
①當平行四邊形以BC為邊時，可在x軸上方找出兩個符合條件的點，由于EF平行且相等于BC，那么可根據(jù)BC的長和拋物線的對稱軸得出此時F點的橫坐標，然后代入拋物線的解析式中即可求出F點的坐標．
②平行四邊形以BC為對角線，可在x軸下方找出一個符合條件的點且此時F點正好是拋物線的頂點．
解答：解：（1）設以直線x=-3為對稱軸的拋物線的解析式為y=a（x+3）²+k，
由已知得點C、D的坐標分別為C（2，0）、D（0，-4），分別代入解析式中，
得，
解得，
∴y=（x+3）²-為所求；

（2）（圖1）∴點C（2，0）關于直線x=-3的對稱點為B（-8，0），
∴使PC+PD值最小的P點是BD與直線x=-3的交點．
∴PC+PD的最小值即線段BD的長．
在Rt△BOD中，由勾股定理得BD=4，
∴PC+PD的最小值是4
∵點P是對稱軸上的動點，
∴PC+PD無最大值．
∴PC+PD的取值范圍是PC+PD≥4．

（3）存在．
①（圖2）當BC為所求平行四邊形的一邊時．
點F在拋物線上，且使四邊形BCFE或四邊形BCEF為平行四邊形，則有BC∥EF且BC=EF，
設點E（-3，t），過點E作直線EF∥BC與拋物線交于點F（m，t）．
由BC=EF，得EF=1O．
∴F₁（7，t），F(xiàn)₂（-13，t）．
又當m=7時，t=
∴F₁（7，），F(xiàn)₂（-13，）；

②（圖3）當BC為所求平行四邊形的對角線時．
由平行四邊形的性質(zhì)可知，點F即為拋物線的頂點（-3，）
∴存在三個符合條件得F點，分別為F₁（7，），F(xiàn)₂（-13，），F(xiàn)₃（-3，）．
點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、平行四邊形的判定和性質(zhì)等重要知識點，綜合性強，考查學生分類討論，數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．