Question

已知等腰△OAB在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖，點(diǎn)A坐標(biāo)為(2

3

，2)，點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0）．
（1）若將△OAB沿x軸向左平移m個(gè)單位，此時(shí)點(diǎn)A恰好落在反比例函數(shù)y=-

2 3

x

的圖象上，求m的值；
（2）若將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，點(diǎn)B恰好落在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，求k的值；
（3）若將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（0＜a＜180）到△OA′B′位置，當(dāng)點(diǎn)A′、B′恰好同時(shí)落在（2）中所確定的反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出經(jīng)過(guò)點(diǎn)A′、B′且以y軸為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)解析式．

Answer 1

分析：（1）假設(shè)點(diǎn)A平移后落在反比例函數(shù)y=-

2 3

x

圖象上的點(diǎn)記為：A₁（a，b）．根據(jù)平移的特點(diǎn)，可知A₁點(diǎn)的縱坐標(biāo)與A點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同．代入反比例函數(shù)可求得A₁的橫坐標(biāo)，根據(jù)A、A₁點(diǎn)的橫坐標(biāo)可確定m的值．
（2）將點(diǎn)B恰好落在反比例函數(shù)y=

k

x

圖象上的點(diǎn)記為B₁．利用三角函數(shù)可求得B₁點(diǎn)的坐標(biāo)值．
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，確定出旋轉(zhuǎn)后的A'、B'點(diǎn)坐標(biāo)值，可直接寫(xiě)出該解析式．并根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸在y軸上的特點(diǎn)，那么寫(xiě)出該拋物線(xiàn)的解析式．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)A平移后落在反比例函數(shù)y=-

2 3

x

圖象上的點(diǎn)記為：A₁（a，b），
∵A(2

3

，2)，
∴b=2，
代入y=-

2 3

x

，求得a=-

3

，
∴m=2

3

-(-

3

)=3

3

；

（2）將點(diǎn)B恰好落在反比例函數(shù)y=

k

x

圖象上的點(diǎn)記為B₁，
可求得：B₁(2

3

，-2)，
∴k=2

3

×(-2)=-4

3

；

（3）∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（2

3

，2），
∴OA=4，
∴OA=OB=4，∠AOB=30°，
當(dāng)∠BOA′=30°時(shí)，則∠BOB′=60°，
A′的坐標(biāo)為（2

3

，-2），B′的坐標(biāo)為（2，-2

3

），
∴點(diǎn)A′、B′恰好同時(shí)落在（2）中所確定的反比例函數(shù)的圖象上；
同理：α=60°符合題意；
∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)A′、B′且以y軸為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)解析式y=

3 -1

4

x2+1-3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法等知識(shí)點(diǎn)．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．