Question

拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)A（-1，0）點(diǎn)B（3，0），其開口向上，點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，且OC=3OA．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖①，將拋物線x軸下方的部分沿x軸對折交y軸于點(diǎn)C，若直線y=-x+b與翻折后的曲線的交點(diǎn)數(shù)為兩個(gè)，求b的取值范圍；
（3）如圖②，過點(diǎn)B作BD⊥x軸，交AC的延長線于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)C的上方有一點(diǎn)P（0，t），且△PAD的面積為15，若將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線與△PAD總有公共點(diǎn)，則拋物線向上最多可平移多少個(gè)單位長度？向下最多可平移多少個(gè)單位長度？

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閽佄锞�y=ax²+bx+c過點(diǎn)A（-1，0）點(diǎn)B（3，0），所以可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-3），由條件OC=3OA可知C的坐標(biāo)為（0，-3），代入解析式y(tǒng)=a（x-1）（x-3）求出a的值即可；
（2）首先求出翻折后的拋物線的解析式，若直線y=-x+b與翻折后的曲線的交點(diǎn)數(shù)為兩個(gè)則當(dāng)直線介于A，B之間可求出b的范圍或聯(lián)立兩個(gè)解析式組成的方程組有解也可以求出b的取值范圍；
（3）設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，把A，C點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入求出直線的解析式，進(jìn)而求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，若將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線與△PAD總有公共點(diǎn)，則可求出向上和向下時(shí)的m的最值即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)A（-1，0）點(diǎn)B（3，0），
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-3），
∵OC=3OA，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-3），
把C的坐標(biāo)代入y=a（x-1）（x-3），
解得a=1，
∴y=x²-2x-3；
（2）由題意可知翻折后的拋物線的解析式為y=-x²+2x+3，
①當(dāng)直線過（3，0）時(shí)，b=3，當(dāng)直線過（-1，0）時(shí)，b=-1，
∴當(dāng)-1＜b＜3時(shí)，直線y=-x+b與翻折后的曲線的交點(diǎn)數(shù)為兩個(gè)；
②由

y=-x2+2x+3 y=-x+b

得：x2-3x+b-3=0，
∵直線y=-x+b與翻折后的曲線的交點(diǎn)數(shù)為兩個(gè)，
∴△=9-4（b-3）=0，
∴b=

21

4

，
綜上可知以及結(jié)合圖形可知當(dāng)-1＜b＜3時(shí)或b＞

21

4

時(shí)，直線和曲線有兩個(gè)交點(diǎn)；

（3）設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，
則

-k+b=0 b=-3

，
解得

k=-3 b=-3

，
∴y=-3x-3，
當(dāng)x=3時(shí)，y=-12，
∴D（3，-12）
∴（t+3）×4=15，
∴t=

9

2

，
即P的坐標(biāo)為（0，

9

2

），
設(shè)平移后的拋物線解析式為y=（x-1）²+m，
則當(dāng)拋物線過點(diǎn)P時(shí)，

9

2

=（0-1）²+m，
解得m=

7

2

，此時(shí)拋物線向上平移了

15

2

個(gè)單位，
當(dāng)拋物線過D點(diǎn)時(shí)，-9=（-3+1）²+m，
解得m=-13，
又因?yàn)?12=（3-1）²+m，解得m=-16，此時(shí)拋物線向下平移了12個(gè)單位，
綜上可知拋物線最多向上平移

15

2

個(gè)單位，向下最多平移12個(gè)單位．

點(diǎn)評：本題考查了用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)和二次函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)以及二次函數(shù)的平移，題目的綜合性不小，難度中等．