Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A和B（1，0），與y軸交于點C，直線y=x﹣2經(jīng)過A，C兩點，拋物線的頂點為D．

（1）求拋物線的解析式和頂點D的坐標；

（2）在y軸上是否存在一點G，使得GD+GB的值最��？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PAB是以AB為腰的等腰三角形？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x﹣2；D（， ）；（2）G（0， ），（3）P點坐標為（， ）或（，﹣）．

【解析】試題分析：（1）先由直線y=x﹣2與x軸的交點求出A點和C點的坐標，再用待定系數(shù)法求出求拋物線解析式即可；

（2）作點B關(guān)于y軸的對稱點B'，連接BB'，交y軸于點G，則B'（﹣1，0），用待定系數(shù)法求出直線B'D的解析式，再求與y軸的交點坐標即可；

（3）分AP=AB和BP=AB=3兩種情況求解.

解：（1）把x=0代入直線y=x﹣2中，y=﹣2，

∴C（0，﹣2），

把y=0代入直線y=x﹣2中，x=4，

∴A（4，0），

把A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）代入拋物線y=ax2+bx+c中得：

，解得：，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+x﹣2=﹣（x2﹣5x+﹣）﹣2=﹣（x﹣）2+，

∴頂點D（，），

（2）存在，

如圖1，作點B關(guān)于y軸的對稱點B'，連接BB'，交y軸于點G，則B'（﹣1，0），

設(shè)直線B'D的解析式為：y=kx+b，

則，解得：，

∴直線B'D的解析式為：y=x+，

∴G（0，），

∴存在點G（0，），使得GD+GB的值最小；

（3）∵對稱軸x=，且A（4，0），B（1，0），

設(shè)P（，m），且AB=4﹣1=3，

分兩種情況：

①當(dāng)AP=AB=3時，即AP==3，

解得：m=±，

②當(dāng)BP=AB=3時，即BP==3，

解得：m=，

綜上所述，P點坐標為（，）或（，﹣）．