Question

如圖，△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F．
（1）探究：線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系并加以證明；
（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處，且△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是正方形？
（3）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形BCFE會(huì)是菱形嗎？若是，請(qǐng)證明，若不是，則說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）探究問題，也就是證明問題，可以先假設(shè)，題中OE，OF可通過平行線，角平分線確定二者之間的關(guān)系．
（2）正方形的判定問題，AECF若是正方形，則必有對(duì)角線OA=OC，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)，同樣在△ABC中，當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，可滿足其為正方形．
（3）菱形的判定問題，若使菱形，則必有四條邊相等，對(duì)角線互相垂直．
解答：（1）解：OE=OF．理由如下：
∵CE是∠ACB的角平分線，
∴∠ACE=∠BCE，
又∵M(jìn)N∥BC，
∴∠NEC=∠ECB，
∴∠NEC=∠ACE，
∴OE=OC，
∵OF是∠BCA的外角平分線，
∴∠OCF=∠FCD，
又∵M(jìn)N∥BC，
∴∠OFC=∠ECD，
∴∠OFC=∠COF，
∴OF=OC，
∴OE=OF；

（2）解：當(dāng)∠ACB=90°，點(diǎn)O在AC的中點(diǎn)時(shí)，
∵OE=OF，
∴四邊形AECF是正方形；

（3）解：不可能．
如圖所示，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=（∠ACB+∠ACD）=90°，
若四邊形BCFE是菱形，則BF⊥EC，
但在△GFC中，不可能存在兩個(gè)角為90°，所以不存在其為菱形．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握菱形及正方形的性質(zhì)及判定定理，能夠解決一些簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)問題．