Question

1．已知拋物線y=ax²-2ax-3a（a＜0）．
（1）寫出與a有關(guān)的兩個(gè)結(jié)論；
（2）拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C、點(diǎn)D時(shí)拋物線的頂點(diǎn)．
①求點(diǎn)A、B坐標(biāo)
②求點(diǎn)D作DH⊥y軸于點(diǎn)H，若DH=HC，求a的值和直線CD解析式．
③是否存在實(shí)數(shù)a，使四邊形ABCD的面積為18？若存在，求實(shí)數(shù)a；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（2）①令y=0，得 ax²-2ax-3a=0，根據(jù)a≠0，解出一元二次方程，即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
②由y=ax²-2ax-3a，令x=0，得y=-3a，求出C點(diǎn)坐標(biāo)（0，-3a），同理求出D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4a），進(jìn)而證明出DH=HC=-a=1，求出a的值，設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，列出k和b的方程組求出k和b，直線CD的解析式即可求出；
③用含a的式子表示出四邊形ABCD的面積，根據(jù)等量關(guān)系：四邊形ABCD的面積為18，列出方程求解即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²-2ax-3a（a＜0），
∴拋物線開口向下，與軸的交點(diǎn)是（0，-3a）；

（2）①令y=0，得ax²-2ax-3a=0．
∵a≠0，
∴x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3．
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)（3，0）；
②如圖1，由y=ax²-2ax-3a，令x=0，得y=-3a．
∴C（0，-3a）．
又∵y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，
∴D（1，-4a），
∴DH=HC=-4a-（-3a）=-a=1，
∴a=-1，
∴C（0，3），D（1，4），
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，
把點(diǎn)C，點(diǎn)D的坐標(biāo)分別代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{k=1}\end{array}\right.$．
故直線CD的解析式為：y=x+3．
③如圖2，
依題意有：$\frac{1}{2}$×1×3+$\frac{1}{2}$×（-3a）×1+$\frac{1}{2}$×3×（-4a）=18，
解得a=-$\frac{11}{5}$．
故存在實(shí)數(shù)a=-$\frac{11}{5}$，使四邊形ABCD的面積為18．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)和待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，此題難度不大．