Question

（2012•西城區(qū)二模）在平面直角坐標系xOy中，A為第一象限內(nèi)的雙曲線y=

k1

x

（k₁＞0）上一點，點A
的橫坐標為1，過點A作平行于 y軸的直線，與x軸交于點B，與雙曲線y=

k2

x

（k₂＜0）交于點C．x軸上一點D（m，0）位于直線AC右側(cè)，AD的中點為E．
（1）當(dāng)m=4時，求△ACD的面積（用含k₁，k₂的代數(shù)式表示）；
（2）若點E恰好在雙曲線y=

k1

x

（k₁＞0）上，求m的值；
（3）設(shè)線段EB的延長線與y軸的負半軸交于點F，當(dāng)點D的坐標為D（2，0）時，若△BDF的面積為1，且CF∥AD，求k₁的值，并直接寫出線段CF的長．

Answer 1

分析：（1）由于A、C的橫坐標相同，則AC的長即為A、C的縱坐標之差，根據(jù)m=4，可求出BD的長，進而的得出三角形的面積；
（2）作EG⊥x軸于點G，判斷出△DEG∽△DAB，再根據(jù)A，B，D三點的坐標分別為A（1，k₁），B（1，0），D（m，0），以及G為BD的中點，求出E的表達式，代入反比例函數(shù)解析式，即可求出m的值；
（3）根據(jù)S_△BDF=1，求出OF=2，將點B，點E的坐標分別代入解析式，求出直線BE的解析式為y=k₁x-k₁．再求出AD的解析式，根據(jù)平行直線的性質(zhì)求出FC的解析式，得到C點作標，從而求出F從的坐標．

解答：解：（1）由題意得A，C兩點的坐標分別為A（1，k₁），C（1，k₂）．（如圖1）
∵k₁＞0，k₂＜0，
∴點A在第一象限，點C在第四象限，AC=k₁-k₂．
當(dāng)m=4時，S△ACD=

1

2

AC•BD=

3

2

(k1-k2)．

（2）作EG⊥x軸于點G．（如圖2）
∵EG∥AB，AD的中點為E，
∴△DEG∽△DAB，

EG

AB

=

DG

DB

=

DE

DA

=

1

2

，G為BD的中點．
∵A，B，D三點的坐標分別為A（1，k₁），B（1，0），D（m，0），
∴EG=

AB

2

=

k1

2

，BG=

BD

2

=

m-1

2

，OG=OB+BG=

m+1

2

．
∴點E的坐標為E(

m+1

2

，

k1

2

)．
∵點E恰好在雙曲線y=

k1

x

上，
∴

m+1

2

•

k1

2

=k1．①
∵k₁＞0，
∴方程①可化為

m+1

4

=1，
解得m=3．

（3）當(dāng)點D的坐標為D（2，0）時，由（2）可知點E的坐標為E(

3

2

，

k1

2

)．（如圖3）
∵S_△BDF=1，
∴S△BDF=

1

2

BD•OF=

1

2

OF=1．
∴OF=2． 
設(shè)直線BE的解析式為y=ax+b（a≠0）．
∵點B，點E的坐標分別為B（1，0），E(

3

2

，

k1

2

)，
∴

a+b=0 3a 2 +b= k1 2 .

解得 a=k₁，b=-k₁．
∴直線BE的解析式為y=k₁x-k₁．
∵線段EB的延長線與y軸的負半軸交于點F，k₁＞0，
∴點F的坐標為F（0，-k₁），OF=k₁．
∴k₁=2．
∵A點坐標為（1，2），D點坐標為（2，0），
∴設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b，
將A（1，2），D（2，0）分別代入解析式得，

k+b=2 2k+b=0

，
解得

k=-2 b=4

，
故函數(shù)解析式為y=-2x+4，
又∵AD∥FC，
設(shè)FC的解析式為y=-2x+c，
將F（0，-2）代入解析式得，c=-2，
故函數(shù)解析式為y=-2x-2．
當(dāng)x=1時，k₂=-4．
C點坐標為（1，-4），
故線段CF=

12+(-4+2)2

=

5

．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的相關(guān)問題，涉及圖形與坐標的關(guān)系、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、兩點間的距離公式等知識，綜合性很強，要認真對待．