給定銳角三角形PBC，PB≠PC．設(shè)A，D分別是邊PB，PC上的點(diǎn)，連接AC，BD，相交于點(diǎn)O．過點(diǎn)O分別作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，線段BC，AD的中點(diǎn)分別為M，N．
（1）若A，B，C，D四點(diǎn)共圓，求證：EM•FN=EN•FM；
（2）若EM•FN=EN•FM，是否一定有A，B，C，D四點(diǎn)共圓？證明你的結(jié)論．
分析：（1）設(shè)Q，R分別是OB，OC的中點(diǎn)，連接EQ，MQ，F(xiàn)R，MR，如圖，則
EQ=OB=RM，MQ=OC=RF，四邊形OQMR是平行四邊形，得到∠OQM=∠ORM，而A，B，C，D四點(diǎn)共圓，有∠ABD=∠ACD，得到∠EQM=∠EQO+∠OQM=∠FRO+∠ORM=∠FRM，得到
△EQM≌△MRF，則EM=FM，同理可得EN=FN，即可得到結(jié)論．
（2）若EM•FN=EN•FM，不一定有A，B，C，D四點(diǎn)共圓．當(dāng)AD∥BC時(shí)，由于∠B≠∠C，所以A，B，C，D四點(diǎn)不共圓，但此時(shí)仍然有EM•FN=EN•FM．設(shè)S，Q分別是OA，OB的中點(diǎn)，連接ES，EQ，MQ，NS，則
NS=OD，EQ=OB，得到
=．①
同理得
=．②而AD∥BC，所以
=③，易證∠NSE=∠EQM，則△NSE∽△EQM，得到
==（由②）．同理可得，
=，所以
=，從而EM•FN=EN•FM．
解答：
（1）證明：設(shè)Q，R分別是OB，OC的中點(diǎn)，連接EQ，MQ，F(xiàn)R，MR，如圖，
∴
EQ=OB=RM，MQ=OC=RF，四邊形OQMR是平行四邊形，
∴∠OQM=∠ORM，
而A，B，C，D四點(diǎn)共圓，
∴∠ABD=∠ACD，
∴∠EQO=2∠ABD=2∠ACD=∠FRO，
所以∠EQM=∠EQO+∠OQM=∠FRO+∠ORM=∠FRM，
∴△EQM≌△MRF，
∴EM=FM，
同理可得EN=FN，
所以EM•FN=EN•FM．
（2）若EM•FN=EN•FM，不一定有A，B，C，D四點(diǎn)共圓．理由如下：
當(dāng)AD∥BC時(shí)，由于∠B≠∠C，所以A，B，C，D四點(diǎn)不共圓，但此時(shí)仍然有EM•FN=EN•FM，證明如下：
如圖2所示，
設(shè)S，Q分別是OA，OB的中點(diǎn)，連接ES，EQ，MQ，NS，則
NS=OD，EQ=OB，
∴
=．①
又∵
ES=OA，MQ=OC，
∴
=．②
而AD∥BC，所以
=，③
由①，②，③得
=．
∵∠NSE=∠NSA+∠ASE=∠AOD+2∠AOE，∠EQM=∠MQO+∠OQE=（∠AOE+∠EOB）+（180°-2∠EOB）=∠AOE+（180°-∠EOB）=∠AOD+2∠AOE，
即∠NSE=∠EQM，
∴△NSE∽△EQM，
故
==（由②）．
同理可得，
=，
所以
=，
從而EM•FN=EN•FM．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了四點(diǎn)共圓的判定與性質(zhì)；也考查了三角形中位線的性質(zhì)和斜邊上的中線性質(zhì)以及三角形全等和相似的判定與性質(zhì)．
