Question

利用三角形內(nèi)角和，探究四邊形內(nèi)角和：
如圖，∠A、∠B、∠C、∠D是四邊形的四個內(nèi)角，連接AC，因為

 

，所以

 

，即四邊形內(nèi)角和為

 

．
利用上述結(jié)論解題：四邊形ABCD中，∠A=140°，∠D=80°．
（1）如圖1，若∠B=∠C，試求出∠C的度數(shù)；
（2）如圖2，若∠ABC的角平分線BE交DC于點E，且BE∥AD，試求出∠C的度數(shù)；
（3）如圖3，若∠ABC和∠BCD的角平分線交于點E，試求出∠BEC的度數(shù)．

Answer 1

分析：探究：從三角形的內(nèi)角和考慮；
（1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°列式即可求解；
（2）先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠ABE與∠BED的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠EBC的度數(shù)，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求解即可；
（3）先根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°求出∠ABC+∠BCD的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出

1

2

（∠ABC+∠BCD）的度數(shù)，然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式即可求出∠BEC的度數(shù)．

解答：解：探究：∵△ABC與△ACD的內(nèi)角和都是180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
即四邊形內(nèi)角和為360°；

（1）∵∠A=140°，∠D=80°，∠B=∠C，
∴140°+80°+2∠C=360°，
解得∠C=70°；

（2）∵∠A=140°，∠D=80°，BE∥AD，
∴∠ABE=180°-∠A=180°-140°=40°，
∠BED=180°-∠D=180°-80°=100°，
∵BE是∠ABC的角平分線，
∴∠EBC=∠ABE=40°，
在△BEC中，∠C=∠BED-∠EBC=100°-40°=60°；

（3）∵∠A=140°，∠D=80°，
∴∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D）=360°-（140°+80°）=140°，
∵BE、CE分別是∠ABC和∠BCD的角平分線，
∴∠EBC+∠ECB=

1

2

（∠ABC+∠BCD）=

1

2

×140°=70°，
在△BEC中，∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-70°=110°．

點評：本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式的求解原理，平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，仔細(xì)分析圖形是解題的關(guān)鍵．