Question

（2008•漳州）如圖，二次函數(shù)y=ax²-5ax+4a（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，連接BD．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若AD⊥BC，垂足為P，求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，若直線x=m把△ABD的面積分為1：2的兩部分，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）A、B兩點(diǎn)為x軸上的點(diǎn)，故其總坐標(biāo)為0，令y=0解方程即可；
（2）根據(jù)圖形特點(diǎn)，可以利用相似三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再代入解析式取出a的值；
（3）根據(jù)題意可確定，直線x=m與x軸交點(diǎn)在線段AB上，S_△AMN=S_△ABD和S_△AMN=S_△ABD兩種情況利用三角形面積公式解答．
解答：解：（1）∵拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)
∴ax²-5ax+4a=0（1分）
∵a≠0
∴x²-5x+4=0，
解得x₁=1，x₂=4（3分）
∴A（1，0），B（4，0）．（4分）

（2）（方法一）連接AC、CD，由對(duì)稱性知：四邊形ABDC是等腰梯形，
∴∠CAB=∠DBA
在△ABC與△BAD中，
AC=BD，∠CAB=∠DBA，AB=BA
∴△ABC≌△BAD
∴∠1=∠2（6分）
∵AD⊥BC
∴∠1=∠2=45°
∵∠BOC=90°
∴∠OCB=∠1=45°
∴OC=OB=4
∴C（0，4）（8分）
把C（0，4）的坐標(biāo)代入y=ax²-5ax+4a
得4a=4
∴a=1
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x²-5x+4．（10分）
（方法二）∵A、C兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為B、D，
∴AD、BC的交點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，
∴PA=PB（6分）
∵AD⊥BC
∴∠1=∠2=45°
∵∠BOC=90°
∴∠OCB=∠1=45°
∴OC=OB=4
∴C（0，4）（8分）
把C（0，4）的坐標(biāo)代入y=ax²-5ax+4a
得4a=4
∴a=1
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x²-5x+4．（10分）

（3）（方法一）S_△ABD=×3×4=6，
設(shè)直線x=m與AD、AB分別交于M、N，則AN=m-1，
由（2）得∠1=45°，∠2=90°，
∴MN=AN=m-1，
∴S_△AMN=（m-1）²（11分）
當(dāng)S_△AMN=S_△ABD時(shí)，（m-1）²=×6；
解得m=3（負(fù)值舍去）（12分）
當(dāng)S_△AMN=S_△ABD時(shí)，（m-1）²=×6；
解得m=+1（負(fù)值舍去）．（13分）
過B作BE⊥AB交AD于E，則S_△ABE=4.5，
S_△ABD=4，
∵4.5＞4，
∴點(diǎn)N在線段AB上
∴m＜4，
綜上所述，m的值為3或+1．（14分）
（方法二）S_△ABD=×3×4=6，
設(shè)直線x=m與AD、AB分別交于M、N，
由（2）得∠1=45°，∠2=90°，
∴MN=AN，
∴S_△AMN=AN•MN=AN²（11分）
當(dāng)S_△AMN=S_△ABD時(shí)，AN²=2，解得AN=2．
∴ON=3即m=3．（12分）
當(dāng)S_△AMN=S_△ABD時(shí)，AN²=4，
解得AN=，
∴ON=+1即m=+1，（13分）
過B作BE⊥AB交AD于E，則S_△ABE=4.5，
S_△ABD=4，
∵4.5＞4
∴點(diǎn)N在線段AB上
∴m＜4
綜上所述，m的值為3或+1．（14分）
點(diǎn)評(píng)：此題將二次函數(shù)與三角形與等腰梯形相結(jié)合，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問題時(shí)的作用，解答此題的關(guān)鍵是充分利用解析式每一項(xiàng)都含a的特點(diǎn)及特殊三角形和等腰梯形的性質(zhì)．