Question

如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，且BE=BD，連接AE、DE、DC．
（1）求證：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE=30°，求∠BCD的度數(shù)．

Answer 1

（1）證明：∵∠ABC=90°，D為AB延長線上一點(diǎn)，
∴∠ABE=∠CBD=90°，…
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；…

（2）解：∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，…
又∵∠CAE=30°，
∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=15°．…
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BCD=∠BAE=15°．…
分析：（1）由∠ABC為直角，得到∠CBD也為直角，得到一對角相等，再由AB=CB，BE=BD，利用SAS即可得到三角形ABE與三角形CBD全等，得證；
（2）由AB=BC，且∠ABC為直角，得到三角形ABC為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠BAC為45°，由∠CAB-∠CAE求出∠BAE的度數(shù)，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得到∠BAE=∠BCD，即可求出∠BCD的度數(shù)．
點(diǎn)評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．