Question

【題目】如圖，已知拋物線過點，，.點為拋物線上的動點，過點作軸，交直線于點，交軸于點.

（1）求二次函數的表達式；

（2）過點作軸，垂足為點.若四邊形為正方形（此處限定點在對稱軸的右側），求該正方形的面積；

（3）若，，求點的橫坐標.

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3（2）24+8或24﹣8（3）點M的橫坐標為、2、﹣1、

【解析】

試題分析：（1）待定系數法求解可得；

（2）設點M坐標為（m，﹣m2+2m+3），分別表示出ME=|﹣m2+2m+3|、MN=2m﹣2，由四邊形MNFE為正方形知ME=MN，據此列出方程，分類討論求解可得；

（3）先求出直線BC解析式，設點M的坐標為（a，﹣a2+2a+3），則點N（2﹣a，﹣a2+2a+3）、點D（a，﹣a+3），由MD=MN列出方程，根據點M的位置分類討論求解可得．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c過點A（﹣1，0），B（3，0），

∴設拋物線的函數解析式為y=a（x+1）（x﹣3），

將點C（0，3）代入上式，得：3=a（0+1）（0﹣3），

解得：a=﹣1，

∴所求拋物線解析式為y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3；

（2）由（1）知，拋物線的對稱軸為x=﹣=1，

如圖1，設點M坐標為（m，﹣m2+2m+3），

∴ME=|﹣m2+2m+3|，

∵M、N關于x=1對稱，且點M在對稱軸右側，

∴點N的橫坐標為2﹣m，

∴MN=2m﹣2，

∵四邊形MNFE為正方形，

∴ME=MN，

∴|﹣m2+2m+3|=2m﹣2，

分兩種情況：

①當﹣m2+2m+3=2m﹣2時，解得：m1=、m2=﹣（不符合題意，舍去），

當m=時，正方形的面積為（2﹣2）2=24﹣8；

②當﹣m2+2m+3=2﹣2m時，解得：m3=2+，m4=2﹣（不符合題意，舍去），

當m=2+時，正方形的面積為[2（2+）﹣2]2=24+8；

綜上所述，正方形的面積為24+8或24﹣8．

（3）設BC所在直線解析式為y=kx+b，

把點B（3，0）、C（0，3）代入表達式，得：

，解得： ，

∴直線BC的函數表達式為y=﹣x+3，

設點M的坐標為（a，﹣a2+2a+3），則點N（2﹣a，﹣a2+2a+3），點D（a，﹣a+3），

①點M在對稱軸右側，即a＞1，

則|﹣a+3﹣（﹣a2+2a+3）|=a﹣（2﹣a），即|a2﹣3a|=2a﹣2，

若a2﹣3a≥0，即a≤0或a≥3，a2﹣3a=2a﹣2，

解得：a=或a=＜1（舍去）；

若a2﹣3a＜0，即0≤a≤3，a2﹣3a=2﹣2a，

解得：a=﹣1（舍去）或a=2；

②點M在對稱軸右側，即a＜1，

則|﹣a+3﹣（﹣a2+2a+3）|=2﹣a﹣a，即|a2﹣3a|=2﹣2a，

若a2﹣3a≥0，即a≤0或a≥3，a2﹣3a=2﹣2a，

解得：a=﹣1或a=2（舍）；

若a2﹣3a＜0，即0≤a≤3，a2﹣3a=2a﹣2，

解得：a=（舍去）或a=；

綜上，點M的橫坐標為、2、﹣1、．