Question

如圖甲，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx-3a經(jīng)過A（-1，0）、B（0，3）兩點，與x軸交于另一點C，頂點為D．
（1）求點D的坐標(biāo)；
（2）經(jīng)過點B、D兩點的直線與x軸交于點E，若點F是拋物線上一點，以A、B、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，求點F的坐標(biāo)；
（3）若平行于x軸的直線與拋物線交于G、H兩點，且GH為直徑的圓與x軸相切，求這個圓半徑的長；
（4）如圖乙，P（2，3）是拋物線上的點，Q是直線AP上方的拋物線上一動點，求△APQ的最大面積和此時Q點的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-3a經(jīng)過A（-1，0）、B（0，3）兩點，
∴，解得：
拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3
y=-（x-1）²+4
∴D（1，4）；

（2）∵四邊形AEBF是平行四邊形，
∴BF=AE．
∵B（0，3），
設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b，
則，
解得，
∴直線BD的解析式為：y=x+3
當(dāng)y=0時，x=-3
∴E（-3，0），
∴OE=3，
∵A（-1，0）
∴OA=1，
∴AE=2
∴BF=2，
∴F的橫坐標(biāo)為2，
∴y=3，
∴F（2，3）；

（3）設(shè)直徑為GH的⊙M切x軸于點N，連接MN，作HQ⊥x軸于Q，
∴MN⊥x軸，且MN=HM，
∴四邊形MNQH為正方形．由拋物線的對稱性得MH=MG，
∴M在拋物線的對稱軸上，設(shè)M（1，a），
∴H（a+1，a），
∴a=-（a+1）²+2（a+1）+3，解得：
a₁=，a₂=．
∴這個圓半徑的長為：，．

（4）如圖，設(shè)Q（a，-a²+2a+3），作PS⊥x軸，QR⊥x軸于點S、R，且P（2，3），
∴AR=a+1，QR=-a²+2a+3，PS=3，RS=2-a，
∴S_△PQA=S_{四邊形PSRQ}+S_△QRA-S_△PSA
=+-，
∴S_△PQA=-（a-）²+，
∴當(dāng)a=時，S_△PQA的面積最大為，
∴Q（，）．
分析：（1）利用待定系數(shù)法將A（-1，0）、B（0，3）兩點的坐標(biāo)代入拋物線y=ax²+bx-3a求出a、b的值就可以求出拋物線的解析式．然后化為頂點式就可以就可以求出其頂點D的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)點B的坐標(biāo)，待定系數(shù)法即可求出直線BD的解析式，從而求出直線BD與x軸的交點E的坐標(biāo)，就可以求出AE的長度，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)就可以求出BF=2，知道F的橫坐標(biāo)，代入拋物線的解析式就可以求出F的坐標(biāo)．
（3）根據(jù)拋物線的對稱性和圓的而且顯性質(zhì)，可以知道M的橫坐標(biāo)，設(shè)出M的坐標(biāo)，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出M的坐標(biāo)，從而求出圓的半徑．
（4）設(shè)出Q點的坐標(biāo)，作PS⊥x軸，QR⊥x軸于點S、R，則利用S_△PQA=S_{四邊形PSRQ}+S_△QRA-S_△PSA，就可以把其面積的表達(dá)式表示出來，最后化成頂點式就可以求出其最值和Q的坐標(biāo)．
點評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式，頂點坐標(biāo)，平行四邊形的性質(zhì)的運用，圓的切線的性質(zhì)的運用，三角形的面積公式的計算．