Question

如圖，已知直線EF∥x軸，點E的坐標(biāo)是（0，-4），又知拋物線y=ax²-2ax-3a與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點P（0，m）．
（1）求A，B兩點的坐標(biāo)，并問當(dāng)a取不同值時，A，B兩點的坐標(biāo)是否發(fā)生變化？為什么？
（2）當(dāng)二次函數(shù)y=ax²-2ax-3a的頂點在x軸與直線EF之間（不在x軸，EF上）時，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²-2ax-3a與x軸交于A，B兩點，
∴令y=0，則ax²-2ax-3a=0，
∴a（x-3）（x+1）=0，
∵a≠0，
∴（x-3）（x+1）=0，
解得，x=3或x=-1，
∴A（-1，0），B（3，0）．

當(dāng)a取不同值時，A，B兩點的坐標(biāo)不會改變．
∵a（x-3）（x+1）恒等于0，
∴只要a≠0時，無論a取何值，都有（x-3）（x+1）=0，即該拋物線與x的交點坐標(biāo)都是A（-1，0），B（3，0）．

（2）∵拋物線y=ax²-2ax-3a，
∴頂點坐標(biāo)是：（1，-4a）．
把點P（0，m）代入解析式，得
m=-3a，
解得，a=-．
∵直線EF∥x軸，點E的坐標(biāo)是（0，-4），二次函數(shù)y=ax²-2ax-3a的頂點在x軸與直線EF之間（不在x軸，EF上），
∴-4＜-4a＜0，即-4＜m＜0，
解得，-3＜m＜0，
∵m＜0，
∴-3＜m＜0符合題意．即m的取值范圍是-3＜m＜0．
分析：（1）令y=0，則ax²-2ax-3a=0，所以利用因式分解法即可求得x的值，則易求點A、B的坐標(biāo)．
（2）利用拋物線頂點坐標(biāo)公式求得該函數(shù)頂點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)，然后根據(jù)題意列出關(guān)于m的不等式，通過解不等式即可求得m的取值范圍．
點評：本題綜合考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象頂點坐標(biāo)以及不等式的解法等知識點．注意此題“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想在解題過程中的應(yīng)用．