Question

12．拋物線y=ax²+bx-3與x軸交于A（-1，0）B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，設(shè)拋物線頂點(diǎn)為D．
（1）求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）畫出y=ax²+bx-3的圖象．
（3）以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形嗎？為什么？

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式、根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)拋物線的解析式畫出函數(shù)圖象；
（3）根據(jù)坐標(biāo)與圖形的關(guān)系和勾股定理分別求出△BCD的三邊長，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可．

解答 解：（1）拋物線y=ax²+bx-3與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，
則$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=x²-2x-3，
y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（1，-4）；
（2）y=x²-2x-3的圖象如圖：
（3）∵B（3，0），C（0，-3），D（1，-4），
∴BC=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，BD=2$\sqrt{5}$，
則BC²+CD²=BD²，
∴△BCD是直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)、勾股定理的逆定理的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的一般步驟、理解二次函數(shù)的性質(zhì)、能夠運(yùn)用勾股定理的逆定理判斷直角三角形是解題的關(guān)鍵．