Question

已知如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，AD=a，AC為對角線，BM∥AC，過點D作 DE∥CM，交AC的延長線于F，交BM的延長線于E．
（1）求證：△ADF≌△BCM；
（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求四邊形ABED的面積（用含a的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析：（1）由平行線的性質(zhì)可得∠BMC=∠AFD，∠FAD=∠MBC，進而可得出結(jié)論．
（2）可把四邊形ABED的面積分解為△ADF的面積與四邊形ABEF的面積進行求解．

解答：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，則AD=BC，
∵AC∥BM，∴∠AFD=∠E，
又CM∥DE，∴∠BMC=∠E，
∴∠BMC=∠AFD，
同理∠FAD=∠MBC，
則在△ADF與△BCM中．

∠BMC=∠AFD ∠FAD=∠MBC AD=BC

，
∴△ADF≌△BCM．
（2）解：在△ACD中，
∵AC⊥CD，∠ADC=60°，
∴CD=

1

2

AD=

1

2

a，
則AC=

3

2

a，AF=

3 3

4

a，
又由（1）可得BE=

3

a，
S_ABED=S_△ADF+S_ABEF=

1

2

•AF•CD+

1

2

（AF+BE）•CD=

1

2

×

3 3

4

a×

1

2

a+

1

2

（

3 3

4

a+

3

a）×

1

2

a=

5 3

8

a²．

點評：本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)以及三角形，四邊形面積的求法，應(yīng)熟練掌握．