Question

如圖，是一個活動衣架，固定位置后，呈現(xiàn)給大家的是兩個菱形，連接其中一個菱形四條邊的中點，可得到一個矩形．
聯(lián)想學過的四邊形知識，試探究：
（1）一個任意四邊形的各邊中點連線組成的四邊形（中點四邊形）是什么圖形？
（2）如果原四邊形是特殊四邊形（矩形、菱形或正方形），那么中點四邊形是什么圖形？
（3）如果中點四邊形是特殊四邊形（矩形、菱形或正方形），那么原四邊形又是什么圖形？

Answer 1

（1）一個任意四邊形的各邊中點連線組成的四邊形（中點四邊形）是平行四邊形．
證明：在任意四邊形中，作出2條對角線，則中位線中相對的兩條與對應的中位線平行，且長度均為對角線的，所以任意四邊形的各邊中點連線組成的四邊形中，對邊相等且平行，由此可以證明中點四邊形為平行四邊形．

（2）如果原四邊形為矩形，則形成的中點四邊形為菱形；
如果原四邊形為菱形，則形成的中點四邊形為矩形；
如果原四邊形為正方形，則形成的中點四邊形為正方形．
證明：原四邊形為矩形，則其對角線長度相等，再根據(jù)（1）的證明可知，中點四邊形為平行四邊形，
所以此平行四邊形的四條邊相等，可以證明中點四邊形為菱形；
原四邊形為菱形，則其對角線互相垂直，再根據(jù)（1）的證明可知，中點四邊形為平行四邊形，
所以此平行四邊形的對邊垂直，可以證明中點四邊形為矩形；
原四邊形為正方形，則其對角線互相垂直，且對角線長度相等，再根據(jù)（1）的證明可知，中點四邊形為平行四邊形，所以中點平行四邊形的四條邊相等且對邊垂直，可以證明中點四邊形為正方形．

（3）如果中點四邊形為矩形，則原四邊形為菱形；
如果中點四邊形為菱形，則原四邊形為矩形；
如果中點四邊形為正方形，則原四邊形為正方形．
證明：如果中點四邊形為矩形，則原四邊形對角線互相垂直，且對邊平行，可以證明原四邊形為菱形；
如果中點四邊形為菱形，則原四邊形鄰邊互相垂直，且對邊平行，可以證明原四邊形為矩形；
如果中點四邊形為正方形，則原四邊形對角線互相垂直且鄰邊垂直，對邊平行，可以證明原四邊形為正方形．
分析：（1）根據(jù)平行四邊形的定義來判定平行四邊形；
（2）根據(jù)矩形，菱形，正方形的判定方法來判定；
（3）由題目中圖形給出的對角線垂直，對角線相等等條件來判定四邊形．
點評：考查平行四邊形的定義，以及定義判定方法判定平行四邊形，矩形，菱形，正方形的實際應用．