Question

如圖，△AOC在平面直角坐標(biāo)系中，∠AOC=90°，且O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、C分別在坐標(biāo)軸上，AO=4，OC=3，將△AOC繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的三角形記為△CA′O′．
（1）求AC的長；
（2）當(dāng)CA邊落在y軸上（其中旋轉(zhuǎn)角為銳角）時，一條拋物線經(jīng)過A、C兩點(diǎn)且與直線AA′相交于x軸下方一點(diǎn)D，如果S_△AOD=9，求這條拋物線的解析式；
（3）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)△CA′O′，當(dāng)以CA′為直徑的⊙P與（2）中拋物線的對稱軸相切時，圓心P是否在拋物線上，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題需先根據(jù)已知條件∠AOC=90°，AO=4，OC=3，從而求出結(jié)果．
（2）本題需先根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出A′C、AC的值，從而得出A′O的結(jié)果，即可得出A，C，A′的坐標(biāo)，求出直線AA′的解析式，再根據(jù)拋物線與直線AA′相交于點(diǎn)D，根據(jù)S_△AOD=9，得出D的坐標(biāo)，即可得出拋物線的解析式．
（3）本題需先根據(jù)（2）的解析式得出對稱軸為x的值，在分兩種情況進(jìn)行討論，情況1：過點(diǎn)P向拋物線的對稱軸作垂線，交對稱軸于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，點(diǎn)P到對稱軸的距離PE等于⊙P的半徑，即可求出PE、PF、CF的值，得出P點(diǎn)坐標(biāo)，從而判斷出P點(diǎn)的位置；情況2：如圖③，過點(diǎn)P′向拋物線的對稱軸作垂線，交對稱軸于點(diǎn)E′，交軸于點(diǎn)F′，同樣的道理求出P′的坐標(biāo)，從而判斷出點(diǎn)P′的位置．

解答：解：（1）在Rt△AOC中，∵AO=4，OC=3，
∴AC=5；

（2）由旋轉(zhuǎn)可知A′C=AC=5．
∴A′O=A′C-OC=2．
∴A（-4，0），C（0，3），A′（0，-2）．
可求得直線AA′的解析式為y=-

1

2

x-2．
拋物線與直線AA′交于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)D（x，y）
∵S_△AOD=9，
∴

1

2

OA•(-y)=9，
解得y=-

9

2

．
將y=-

9

2

代入y=-

1

2

x-2，得x=5．
∴D（5，-

9

2

），
∵拋物線過A、C、D三點(diǎn)，
∴可求得拋物線的解析式為y=-

1

4

x2-

1

4

x+3；

（3）由y=-

1

4

x2-

1

4

x+3得對稱軸為x=-

1

2

．
∵⊙P與拋物線的對稱軸相切，可有兩種情況：
情況1：如圖②，過點(diǎn)P向拋物線的對稱軸作垂線，交對稱軸于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，點(diǎn)P到對稱軸的距離PE等于⊙P的半徑，
即PE=

5

2

，PF=2．CF=

PC2-PF2

 =

3

2

．
∴FO=CO-CF=

3

2

，
∴P（2，

3

2

）．
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足y=-

1

4

x2-

1

4

x+3，
∴點(diǎn)P在拋物線上．
情況2：如圖③，過點(diǎn)P′向拋物線的對稱軸作垂線，交對稱軸于點(diǎn)E′，交軸于點(diǎn)F′．
同理可求得點(diǎn)P′（2，

9

2

）．
∵點(diǎn)P′坐標(biāo)不滿足拋物線y=-

1

4

x2-

1

4

x+3，
∴此點(diǎn)P′不在拋物線上．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，在解題時要結(jié)合圖形畫出輔助線是解題的關(guān)鍵，其中涉及到知識點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)公式等，在求有關(guān)動點(diǎn)問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．