Question

（2011•鄞州區(qū)模擬）在一次研究性學(xué)習(xí)活動中，某小組將兩張互相重合的正方形紙片ABCD和EFGH的中心O用圖釘固定住，保持正方形ABCD不動，順時針旋轉(zhuǎn)正方形EFGH，如圖所示．
（1）小組成員經(jīng)觀察、測量，發(fā)現(xiàn)在旋轉(zhuǎn)過程中，有許多有趣的結(jié)論．下面是旋轉(zhuǎn)角度小于90°時他們得到的一些猜想：
①ME=MA
②兩張正方形紙片的重疊部分的面積為定值；
③∠MON保持45°不變．
請你對這三個猜想做出判斷（正確的在序號后的括號內(nèi)打上“√”，錯誤的打上“×”）：
①

√

  ②

×

 ③

√

（2）上面的三個猜想中若有正確的，請選擇其中的一個給予證明；若都是錯誤的，請選擇其一說明理由．
（3）小組成員還發(fā)現(xiàn)：（1）中的△ENN的面積S隨著旋轉(zhuǎn)角度∠AOE的變化而變化．請你指出當(dāng)旋轉(zhuǎn)角∠AOE為多少度時△ENN的面積S取得最大值．（不必證明）

Answer 1

分析：（1）通過觀察圖形，進行猜想即可；
（2）連接OA、OE、AE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，推出∠MAO=∠MEO，推出∠MAE=∠MEA，根據(jù)等腰三角形的判定推出ME=MA即可；∠MOE+∠NOE=

1

2

∠AOD，代入求出即可；
（3）求出∠AOE=45°時，三角形的面積最大．

解答：解：（1）故答案為：①（√）②（×）③（√）．

（2）證明：對于猜想①，
連接OA、OE、AE，
由已知得：OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵∠OAM=∠OEM=45°，
∴∠OAE-∠OAM=∠OEA-∠OEM，
即∠MAE=∠MEA，
∴ME=MA．
對于猜想③，
證明：OM平分∠EOA，
同理ON平分∠DOE，
∴∠MOE+∠NOE=

1

2

∠AOD=

1

2

×90°=45°，
即∠MON保持45°不變．

（3）當(dāng)∠AOE=45°時，△EMN的面積S取最大值．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識點，旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)角、對應(yīng)線段分別相等，圖形的大小、形狀都不變，正方形是特殊條件最多的圖形，它的性質(zhì)要好好掌握．