Question

已知：平行四邊形ABCD中，E、F 是BC、AB 的中點(diǎn)，DE、DF分別交AB 、CB的延長線于H、G；

（1）求證：BH =AB；

（2）若四邊形ABCD為菱形，試判斷∠G與∠H的大小，并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

【解答】（1）（3分）由折疊的性質(zhì)可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，

∵DC∥AB，

∴∠EFG=∠AGF，

∴∠EFG=∠EGF，

∴EF=EG=AG，

∴四邊形AGEF是平行四邊形（EF∥AG，EF=AG），

又∵AG=GE，

∴四邊形AGEF是菱形．………………3分

（2）（3分）連接ON，

∵△AED是直角三角形，AE是斜邊，點(diǎn)O是AE的中點(diǎn)，△AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N，

∴ON⊥BC，

∵點(diǎn)O是AE的中點(diǎn)，

∴ON是梯形ABCE的中位線，

∴點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)．………………6分

（3）（4分）解法一：作OM⊥AB于M，則四邊形OMBN是矩形。

∴OM＝BN＝BC＝1

令ON＝x，則由（2）得OE＝OA＝ON＝MB＝x（外接圓半徑），

∵AM＝AB－MB＝4－x

在Rt△AOM中，由勾股定理得：OA²＝AM²+OM²

即x²=(4－x)²+1²

解之得：x＝

∴AM＝4－＝

又∵Rt△AOM∽Rt△EFO

∴＝   即＝

∴OF＝    ∴FG＝2OF＝  ………………………………10分

解法二：（4分）延長NO交AD于H，則AH＝BN＝1，NH＝4

令ON＝x，則由（2）得OE＝OA＝ON＝x（外接圓半徑），

∵OH＝4－x

在Rt△AOH中，由勾股定理得：OA²＝AH²+OH²

即x²=1² +(4－x)²

解之得：x＝

∴HO＝4－＝

又∵Rt△AOM∽Rt△EFO

∴＝

即：＝

∴OF＝  

 ∴FG＝2OF＝  …………………………………………10分