Question

如圖，△ABC是邊長為a的等邊三角形，D是BC邊的中點，過點D分別作AB、AC的垂線，垂足為E、F．
（1）計算：AD=

3

2

a

，EF=

3

4

a

（用含a的式子表示）；
（2）求證：DE=DF．

Answer 1

分析：（1）由三角形ABC為等邊三角形，得到AB=AC，且∠B=60°，由D為BC的中點，利用三線合一得到AD垂直于BC，且AD為角平分線，求出BD的長，在直角三角形ABD中，由AB與BD的長利用勾股定理求出AD的長；由∠B=60°，DE垂直于AB，得到∠EDB=30°，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出BE的長，再由AB-EB求出AE的長，同理求出AF的長，得出AE：AB=AF：AC，且夾角相等，利用兩對對應(yīng)邊成比例且夾角相等的兩三角形相似得到三角形AEF與三角形ABC相似，根據(jù)求出的相似比，即可得到EF的長；
（2）由AD為角平分線，且DE垂直于AB，DF垂直于AC，利用角平分線定理即可得到DE=DF．

解答：解：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC=a，∠B=60°，
又D為BC的中點，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴BD=CD=

1

2

a，
在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得：AD=

AB2-BD2

=

3

2

a；
在Rt△EBD中，∠EDB=30°，
∴EB=

1

2

BD=

1

4

a，AE=AB-EB=

3

4

a，
同理得到AF=

3

4

a，
∴

AE

AB

=

AF

AC

=

3

4

，且∠EAF=∠BAC=60°，
∴△AFE∽△ACB，
∴

EF

BC

=

3

4

，
則EF=

3

4

a；
故答案為：

3

2

a；

3

4

a；

（2）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．

點評：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及含30°直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．