Question

【題目】如圖，已知：正方形ABCD中，AB=8，點(diǎn)O為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的⊙O交邊AD于點(diǎn)E（不與點(diǎn)A、D重合），EF⊥OE交邊CD于點(diǎn)F．設(shè)BO=x，AE=y．

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

（2）在點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的過程中，△EFD的周長是否發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請用x的代數(shù)式表示△EFD的周長；如果不變化，請求出△EFD的周長；

（3）以點(diǎn)A為圓心，OA為半徑作圓，在點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的過程中，討論⊙O與⊙A的位置關(guān)系，并寫出相應(yīng)的x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）

（2）△EFD的周長不變．理由見解析；

（3）當(dāng)⊙O與⊙A相交時(shí)， ；當(dāng)⊙O與⊙A內(nèi)切時(shí)， ；當(dāng)⊙O與⊙A內(nèi)含時(shí)，

【解析】試題分析: （1）OB、OE均是 O的半徑，得出OB=OE，然后在Rt△AOE中，運(yùn)用勾股定理可得出y與x的關(guān)系式，結(jié)合二次根式有意義的條件，可得出x的范圍；

（2）先判斷△AOE∽△DEF，然后根據(jù)相似三角形的周長之比等于相似比，可得出△DEF周長的表達(dá)式，進(jìn)一步化簡可得出答案；

（3）設(shè) O的半徑R1=x，則 A的半徑R2=8-x，圓心距d=OA=8-x，分三種情況討論，依此解出x的范圍即可．

試題解析:（1）∵以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的⊙O交邊AD于點(diǎn)E，

∴OB=OE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=90°，

∴AO2+AE2=OE2，即（8-x）2+y2=x2，

∵y＞0，

∴

（2）△EFD的周長不變．

理由如下：

∵EF⊥OE，

∴∠AEO+∠DEF=90°，

∵∠D=∠A=90°，

∴∠AEO+∠AOE=90°，

∴∠DEF=∠AOE，

∴△AOE∽△DEF，

∴=

∴=16

（3）設(shè)⊙O的半徑R1=x，則⊙A的半徑R2=8-x，圓心距d=OA=8-x，

∵4＜x＜8，

∴R1＞R2，

因?yàn)辄c(diǎn)A始終在⊙O內(nèi)，所以外離和外切都不可能；

當(dāng)⊙O與⊙A相交時(shí)，R1-R2＜d＜R1+R2，即x-8+x＜8-x＜x+8-x，

解得：

故可得此時(shí)：

②當(dāng)⊙O與⊙A內(nèi)切時(shí)，d=R1-R2，即8-x=x-8+x，

解得：x=

③當(dāng)⊙O與⊙A內(nèi)含時(shí)，0＜d＜R1-R2，即0＜8-x＜x-8+x，

解得：