Question

【題目】如圖，DC是⊙O的直徑，點(diǎn)B在圓上，直線AB交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)A，且∠ABD=∠C．

（1）求證：AB是⊙O的切線；

（2）若AB=4cm，AD=2cm，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）CD=6．

【解析】

（1）連結(jié)OB，由圓周角定理證出∠1+∠2=90°，再由已知條件得出∠2+∠ABD=90°，得出∠ABO=90°即可；

（2）證明△ABD∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式求出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出CD的長(zhǎng).

（1）證明：連接OB，如圖，

∵DC是⊙O的直徑，

∴∠CBD=90°，即∠1+∠2=90°，

∵OB=OC，

∴∠1=∠C，

∵∠C=∠ABD，

∴∠ABD+∠2=90°，即∠ABO=90°，

∴OB⊥AB，

∴AB是⊙O的切線；

（2）解：∵∠BAD=∠CAB，∠ABD=∠C，

∴△ABD∽△ACB，

∴=，即=，

∴AC=8，

∴CD=AC-AD=8-2=6．