Question

已知拋物線y＝x²＋mx－m²(m＞0)與x軸交干A、B兩點．

(1)求證：拋物線的對稱軸在y軸的左惻：

(2)若－＝(O為坐標原點)，求拋物線的解析式；

(3)設(shè)拋物線與y軸交于點C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面積．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：∵m＞0 　　∴x＝－＝－＜0　1分 　　∴拋物線的對稱軸在y軸的左惻　2分 　　(2)解：設(shè)拋物線與x軸交點坐標為A(x1，0)，B(x2，0)， 　　則x1＋x2＝－m＜0，x1·x2＝－m2＜0，∴x1與x2異號　3分 　　又－＝ 　　∴OA＞OB 　　由(1)知：拋物線的對稱軸在y軸的左惻 　　∴x1＜0　x2＞0　∴OA＝|x1|＝－x1，OB＝x2　4分 　　代入－＝ 　　得：－＝＋＝ 　　即＝ 　　＝，解得m＝2　5分 　　∴拋物線的解析式是：y＝x2＋2x－3　6分 　　(3)解法一：當x＝0時，y＝－m2 　　∴拋物線與y軸的交點坐標為(0，－m2) 　　∵△ABC是直角三角形，且只能有AC⊥BC，又OC⊥AB， 　　∴∠CAB＝90°－∠ABC，∠BCO＝90°－∠ABC，∴∠CAB＝∠BCO 　　∴Rt△ABC∽Rt△COB　7分 　　∴＝，即OC2＝OA·OB 　　∴|－m2|2＝－x1·x2 　　即m4＝m2 　　解得：m＝　8分 　　此時－m2＝－×()2＝－1，∴點C的坐標為(0，－1)∴OC＝1 　　又(x2－x1) 2＝(x1＋x2) 2－4 x1·x2＝(－m) 2－4·(－m2)＝4m2　9分 　　∵m＞0，∴|x2－x1|＝2 m　即AB＝2 m 　　∴△ABC的面積＝·AB·OC＝×2m×1＝　10分 　　解法二：當x＝0時，y＝－m2 　　∴拋物線與y軸的交點坐標為(0，－m2) 　　∵△ABC是直角三角形，AB2＝AC2＋BC2　7分 　　∴(x1－0x2)2＝x12＋(－m2)2＋x22＋(－m2)2　8分 　　∴－2x1·x2＝m4 　　∴－2(－m2)＝m4 　　解得m＝　9分 　　∴S△ABC＝·|AB|·|OC|＝|x1－x2|·|－m2| 　�。�×2m×m2＝　10分