Question

選做題：從甲、乙兩題中選做一題，如果兩題都做，只以甲題計(jì)分．
題甲：已知關(guān)于x的方程x²+2（a-1）x+a²-7a-4=0的兩根為x₁、x₂，且滿(mǎn)足x₁x₂-3x₁-3x₂-2=0．求(1+

4

a2-4

)•

a+2

a

的值．
題乙：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AD=2，BC=BD=3，AC=4．
（1）求證：AC⊥BD；
（2）求△AOB的面積．
我選做的是

 

題．

Answer 1

分析：甲：首先利用根與系數(shù)的關(guān)系求得x₁+x₂，x₁x₂的值，然后代入x₁x₂-3x₁-3x₂-2=0，即可求得a的值，然后化簡(jiǎn)(1+

4

a2-4

)•

a+2

a

，代入a的值即可求得答案；
乙：（1）過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC，交BC的延長(zhǎng)線于E，即可證得四邊形ACED是平行四邊形，則可求得BD，BE，DE的長(zhǎng)，由勾股定理的逆定理即可證得BD⊥DE，則可證得BD⊥AC；
（2）首先作DF⊥BC，由S_△DBC=

1

2

BE•DF=

1

2

BD•DE，即可求得DF的值，求得△ABC的面積，又由△AOD∽△COB，求得OA與OC的比值，根據(jù)同高的三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)底的比即可求得答案．

解答：解：題甲：關(guān)于x的方程x²+2（a-1）x+a²-7a-4=0的兩根為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-2（a-1）=2-2a，x₁x₂=a²-7a-4，
∴x₁x₂-3x₁-3x₂-2=x₁x₂-3（x₁+x₂）-2=a²-7a-4-3（2-2a）-2=a²-a-12=0，
解得：a=-3或a=4，
當(dāng)a=-3時(shí)，原方程化為x²-8x+26=0，
∵△=-40＜0，此時(shí)原方程無(wú)解，
∴a=-3不合題意，應(yīng)舍去．
當(dāng)a=4時(shí)，原方程化為x²+6x-16=0，
∵△=100＞0，此時(shí)原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴a=4符合題意
又∵(1+

4

a2-4

)•

a+2

a

=

a2

(a+2)(a-2)

•

a+2

a

=

a

a-2

，
當(dāng)a=4時(shí)，原式=

4

4-2

=2．
故(1+

4

a2-4

)•

a+2

a

的值為2．

題乙：（1）過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC，交BC的延長(zhǎng)線于E，
∵AD∥BC，
∴四邊形ACED是平行四邊形，
∴DE=AC，DE⊥BD，CE=AD，
∵AD=2，BC=BD=3，AC=4，
∴BE=BC+CE=5，DE=AC=4，BD=3，
∴BD²+DE²=BE²，
∴∠BDE=90°，
∴BD⊥DE，
∴BD⊥AC；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F，
∵S_△DBE=

1

2

BE•DF=

1

2

BD•DE，
∴DF=

BD•DE

BE

=

3×4

5

=

12

5

，
∴S_△ABC=

1

2

BC•DF=

1

2

×3×

12

5

=

18

5

，
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴

OA

OC

=

AD

BC

=

2

3

，
∴OA：AC=2：5，
∴S_△AOB：S_△ABC=2：5，
∴S_△AOB=

2

5

S_△ABC=

2

5

×

18

5

=

36

25

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，分式的化簡(jiǎn)以及梯形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，解題時(shí)要注意仔細(xì)分析．