【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C(3,0),D(3,4),E(0,4).點(diǎn)A在DE上,以A為頂點(diǎn)的拋物線過點(diǎn)C,且對(duì)稱軸x=1交x軸于點(diǎn)B.連接EC,AC.點(diǎn)P,Q為動(dòng)點(diǎn),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)填空:點(diǎn)A坐標(biāo)為;拋物線的解析式為
(2)在圖①中,若點(diǎn)P在線段OC上從點(diǎn)O向點(diǎn)C以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q在線段CE上從點(diǎn)C向點(diǎn)E以2個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng),當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)t為何值時(shí),△PCQ為直角三角形?
(3)在圖②中,若點(diǎn)P在對(duì)稱軸上從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)P做PF⊥AB,交AC于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G,交拋物線于點(diǎn)Q,連接AQ,CQ.當(dāng)t為何值時(shí),△ACQ的面積最大?最大值是多少?

【答案】
(1)(1,4),y=﹣(x﹣1)2+4
(2)解:依題意有:OC=3,OE=4,

∴CE= = =5,

當(dāng)∠QPC=90°時(shí),

∵cos∠QCP= = ,

= ,

解得t= ;

當(dāng)∠PQC=90°時(shí),

∵cos∠QCP= = ,

=

解得t=

∴當(dāng)t= 或t= 時(shí),△PCQ為直角三角形


(3)解:∵A(1,4),C(3,0),

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,則

,

解得

故直線AC的解析式為y=﹣2x+6.

∵P(1,4﹣t),將y=4﹣t代入y=﹣2x+6中,得x=1+ ,

∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1+ ,

將x=1+ 代入y=﹣(x﹣1)2+4中,得y=4﹣

∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4﹣ ,

∴QF=(4﹣ )﹣(4﹣t)=t﹣ ,

∴SACQ=SAFQ+SCFQ

= FQAG+ FQDG

= FQ(AG+DG)

= FQAD

= ×2(t﹣

=﹣ +t

=﹣ (t2+4﹣4t﹣4)

=﹣ (t﹣2)2+1,

∴當(dāng)t=2時(shí),△ACQ的面積最大,最大值是1


【解析】解:(1)∵拋物線的對(duì)稱軸為x=1,矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C(3,0),D(3,4),E(0,4),點(diǎn)A在DE上,

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,4),

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣1)2+4,

把C(3,0)代入拋物線的解析式,可得a(3﹣1)2+4=0,

解得a=﹣1.

故拋物線的解析式為y=﹣(x﹣1)2+4,即y=﹣x2+2x+3;

(1)由拋物線的對(duì)稱軸為x=1,矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C(3,0),D(3,4),E(0,4),點(diǎn)A在DE上,得到點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,4),設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣1)2+4,把C(3,0)代入拋物線的解析式,求出a=﹣1,得到拋物線的解析式;(2)依題意有OC=3,OE=4,根據(jù)勾股定理CE=5,當(dāng)∠QPC=90°時(shí),cos∠QCP= PC: CQ = OC:CE,得到 =, 解得t=; 當(dāng)∠PQC=90°時(shí),由cos∠QCP= CQ: PC = OC: CE ,得到=,解得t=,當(dāng)t= 或t= 時(shí),△PCQ為直角三角形;(3)把A(1,4),C(3,0),代入直線AC的解析式y(tǒng)=kx+b,得到直線AC的解析式為y=﹣2x+6,由P(1,4﹣t),將y=4﹣t代入y=﹣2x+6中,得到Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1+,Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4﹣,得到QF=4﹣,所以SACQ=SAFQ+SCFQ,求出當(dāng)t=2時(shí),△ACQ的面積最大,最大值是1;此題是綜合題,難度較大,計(jì)算和解方程時(shí)需認(rèn)真仔細(xì).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,A(6,a)B(b,0),M(0c),P點(diǎn)為y軸上一動(dòng)點(diǎn),且(b2)2+|a6|+0

(1)求點(diǎn)B、M的坐標(biāo);

(2)當(dāng)P點(diǎn)在線段OM上運(yùn)動(dòng)時(shí),試問是否存在一個(gè)點(diǎn)P使SPAB13,若存在,請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)與AB的長(zhǎng)度;若不存在,請(qǐng)說明理由.

(3)不論P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到直線OM上的任何位置(不包括點(diǎn)OM),∠PAM、∠APB、∠PBO三者之間是否都存在某種固定的數(shù)量關(guān)系,如果有,請(qǐng)利用所學(xué)知識(shí)找出并證明;如果沒有,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】閱讀下列材料:

問題已知,,試確定的取值范圍有如下解法:

解:

同理得:

請(qǐng)按照上述方法,完成下列問題:

1)已知關(guān)于的方程組的解均為負(fù)數(shù),若,求的取值范圍.

2)已知,,若成立,求的取值范圍(結(jié)果用含的式子表示).

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【題目】如圖,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=2,求△ABC的周長(zhǎng)和面積.

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【題目】某公園有一個(gè)拋物線形狀的觀景拱橋ABC,其橫截面如圖所示,在圖中建立的直角坐標(biāo)系中,拋物線的解析式為y=﹣ +c且過頂點(diǎn)C(0,5)(長(zhǎng)度單位:m)

(1)直接寫出c的值;
(2)現(xiàn)因搞慶典活動(dòng),計(jì)劃沿拱橋的臺(tái)階表面鋪設(shè)一條寬度為1.5m的地毯,地毯的價(jià)格為20元/m2 , 求購(gòu)買地毯需多少元?
(3)在拱橋加固維修時(shí),搭建的“腳手架”為矩形EFGH(H、G分別在拋物線的左右側(cè)上),并鋪設(shè)斜面EG.已知矩形EFGH的周長(zhǎng)為27.5m,求斜面EG的傾斜角∠GEF的度數(shù).(精確到0.1°)

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【題目】如圖,點(diǎn)的外角平分線上一點(diǎn),且滿足,過點(diǎn)于點(diǎn)的延長(zhǎng)線于點(diǎn),則下列結(jié)論:①;②;③;④.

其中正確的結(jié)論有( )

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

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【題目】如圖,將正方形對(duì)折后展開(圖④是連續(xù)兩次對(duì)折后再展開),再按圖示方法折疊,能夠得到一個(gè)直角三角形(陰影部分),且它的一條直角邊等于斜邊的一半.這樣的圖形有( )

A.4個(gè)
B.3個(gè)
C.2個(gè)
D.1個(gè)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】一個(gè)不透明的布袋里裝有16個(gè)只有顏色不同的球,其中紅球有x個(gè),白球有2x個(gè),其他均為黃球,現(xiàn)甲從布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球,若是紅球則甲同學(xué)勝,甲同學(xué)把摸出的球放回并攪勻,由乙同學(xué)隨機(jī)摸出一個(gè)球,若為黃球,則乙同學(xué)勝.
(1)當(dāng)x=3時(shí),誰獲勝的可能性大?
(2)當(dāng)x為何值時(shí),游戲?qū)﹄p方是公平的?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,AB=2,AC=4,將△ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C,使CB′∥AB,分別延長(zhǎng)AB、CA′相交于點(diǎn)D,則線段BD的長(zhǎng)為

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